Производная по времени

Производная по времени — производная функции по отношению к времени, обычно интерпретируемая как скорость изменения значения функции.[1] Время обычно обозначается переменной .

ОбозначенияПравить

Для обозначения производной по времени используется несколько обозначений. В дополнение к обычной (лейбницкой) нотации,

 

Очень часто, особенно в физике, используется сокращённая запись с точкой над переменной:

 

(так называемая ньютоновская нотация).

Высшие производные по времени обозначаются так:

 

или в сокращённом виде:  .

В случае производных по времени более высоких порядков ньютоновская нотация, как правило, не используется.

В более общем случае, производная по времени от вектора:

 

определяется как вектор с составляющими, которые являются производными соответствующих компонент исходного вектора. То есть

 

Применение в физикеПравить

Производные по времени являются одним из ключевых понятий в физике. Например, для радиус-вектора  , производная по времени   это его скорость, а вторая производная по времени   это его ускорение. Третья производная по времени известна как рывок.

Большое число уравнений в физике является производной по времени от вектора, например скорости или смещения. Многие другие фундаментальные величины в науке соотносятся как производные по времени друг от друга:

Применение в экономикеПравить

В экономике многие теоретические модели эволюции различных экономических переменных используют производные по времени.

ПримечанияПравить

  1. Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984, ch. 14, 15, 18.