Производная по направлению

В математическом анализе производная по направлению — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, как быстро функция изменяется при движении в данном направлении.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

Нормальная производнаяПравить

Нормальная производная — производная по направлению нормали некоторой поверхности. Понятие нормальной производной особенно важно при решении краевых задач[1] (см. пример в статье Задача Неймана). Если нормаль обозначить  , то нормальная производная   для функции f даётся формулой:

 

Для функции, заданной на плоскости, нормальная производная определяется как производная по направлению нормали некоторой кривой, лежащей в той же плоскости[1].

Связь с градиентомПравить

Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

 

Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Нормальная производная // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 416. — 847 с.

СсылкиПравить