Функция Леонтьева

В экономической теории функция Леонтьева — производственная функция (либо функция полезности), в которой факторы производства использованы в фиксированных пропорциях, поскольку факторы являются абсолютными комплементами. Функция названа в честь американского экономиста российского происхождения Василия Леонтьева. Функция Леонтьева является предельным случаем Функции CES — класса функций, обладающих свойством постоянной эластичности замещения.

В простейшем случае с двумя факторами производства имеем

q={\text{Min}}\left({\frac {z_{1}}{a}},{\frac {z_{2}}{b}}\right)

где q есть количество продукции, z₁ и z₂ — количество затраченных факторов производства, a и b — определяемые технологией постоянные величины.

Пример применения править

Предположим, что есть два фактора производства, «шины» и «рули». Фирма производит четырёхколёсные автомобили. В приведённой выше формуле величина q будет соответствовать количеству выпущенных машин, z₁ и z₂ — количеству использованных в производстве шин и рулей соответственно. Тогда функция Леонтьева принимает вид

Количество машин= Min{¼ от количества шин, 1 от количества рулей}.

Производственная функция править

Функция Леонтьева используется в качестве производственной функции в модели Харрода — Домара^[1]^[2]:

Y_{t}=min(AK_{t},BL_{t})

,

где

A

и

B

— экзогенные производственные параметры,

K

— капитал,

L

— труд.

Производственная функция Леонтьева

Модель Харрода-Домара

Р. Барро и Х. Сала-и-Мартин отмечают, что производственная функция Леонтьева (функция с фиксированными пропорциями) является частным случаем CES-функции^[3]:

Y=A{\cdot }{\Big (}\alpha K^{\Psi }+(1-\alpha )L^{\Psi }{\Big )}^{\frac {\nu }{\Psi }}

в случае когда

\Psi \to -\infty

она принимает вид функции Леонтьева:

Y=F(L,K)=min(AK,BL)

,

где

A>0

и

B>0

— константы.

Таким образом, при $AK=BL$ — все работники и машины загружены; при $AK>BL$ — капитал используется в объёме $(B/A)L$ , а оставшийся не востребован; при $AK<BL$ — объём труда используется в объеме $(A/B)K$ , а остальной остается безработным. Допущение об отсутствии взаимозаменяемости между капиталом и трудом приводит к тому, что существует или бесконечный рост безработицы или простой оборудования.

При подушевом рассмотрении производственная функция имеет вид^[3]:

y=min(Ak,B)

,

где

y=Y/L

,

k=K/L

.

При $k<B/A$ капитал полностью используется и $y=Ak$ , и кривая производственной функции пересекает ноль и имеет наклон $A$ .

При $k>B/A$ капитал постоянен и $Y=BL$ , $y=B$ . При $k\to \infty$ предельный продукт $f^{'}(k)=0$ , а значит условие Инады выполнено, производственная функция не генерирует эндогенный рост.

При $k<B/A$ форма кривой сбережения $sf(k)/k$ — прямая на уровне $sA$ , а при $k>B/A$ кривая сбережения стремится к нулю при $k\to \infty$ .

Кривая амортизация $(n+\delta )$ имеет форму горизонтальной прямой на уровне $(n+\delta )$ .

При низкой ставке сбережения $sA<n+\delta$ кривая сбережения не пересекает кривую амортизации, так что стационарного состояния $k^{*}$ нет, темп прироста капитала отрицателен, экономика сжимается $k,y,c\to \infty$ , в ней постоянно растущая безработица.

При высокой ставке сбережения $sA>n+\delta$ кривая сбережения приближается к нулю при $k\to \infty$ и пересекает кривую амортизации в точке устойчивого стационарного значения $k^{*}>B/A>$ , так что темп прироста капитала отрицателен при $k>k^{*}$ , а при $k<k^{*}$ положителен. При $k^{>}*B/A$ простаивает оборудование, часть капитала не востребована и монотонно возрастает, но при этом нет незанятых работников. Так как $k$ — константа в стационарном состоянии, то темп роста $K$ равен темпу роста $L$ и равен $n$ . Доля используемого оборудования постоянна, количество невостребованного оборудования растет с темпом $n$ . Стационарное состояние, в котором капитал и труд полностью востребованы в производстве, $sA=n+\delta$ ^[3].