Открыть главное меню

Простая группа

Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Конечные простые группы полностью расклассифицированы в 1982.

В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости.

В теории групп Ли и алгебраических групп определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. простая группа Ли.

Содержание

ПримерыПравить

Конечные простые группыПравить

Циклическая группа   проста. Действительно, если  — подгруппа  , то порядок   по теореме Лагранжа должен делить порядок  , равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть  либо тривиальна, либо совпадает с  . Наоборот, группа   простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа   целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в  . Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка.

Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — знакопеременная группа   порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна  . Более того, простыми являются все группы   при  . Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после  — специальная проективная группа   порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна  .

Бесконечные простые группыПравить

Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества  ; в частности, если множество  счётно, это бесконечная знакопеременная группа  . Ещё одним семейством примером служат  , где поле   бесконечно и  .

Существуют конечно порождённые и даже конечно определённые бесконечные простые группы.

СвойстваПравить

  • Всякая группа вложима в простую группу.

См. такжеПравить