Простая группа

Простая группа — группа, не имеющая нормальных подгрупп, отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Конечные простые группы полностью классифицированы в 1982.

В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости.

В теории групп Ли и алгебраических групп определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. простая группа Ли.

Примеры

Конечные простые группы

Циклическая группа $G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ проста. Действительно, если $H$ — подгруппа $G$ , то порядок $H$ по теореме Лагранжа должен делить порядок $G$ , равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть $H$ либо тривиальна, либо совпадает с $G$ . Наоборот, группа $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа $\mathbb {Z}$ целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в $\mathbb {Z}$ . Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка.

Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — знакопеременная группа $A_{5}$ порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна $A_{5}$ . Более того, простыми являются все группы $A_{n}$ при $n\geqslant 5$ . Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после $A_{5}$ — специальная проективная группа $PSL(2,7)$ порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна $PSL(2,7)$ .

Бесконечные простые группы

Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества $X$ ; в частности, если множество $X$ счётно, это бесконечная знакопеременная группа $A_{\infty }$ . Ещё одним семейством примером служат $PSL_{n}(\mathbb {F} )$ , где поле $\mathbb {F}$ бесконечно и $n\geqslant 2$ .

Существуют конечно порождённые и даже конечно определённые бесконечные простые группы.

Свойства

Всякая группа вложима в простую группу.

См. также