Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.
Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:
где функции и определены и непрерывны в некоторой области .
Уравнения в полных дифференциалах
правитьЕсли в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть , то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции , т.е. определяются уравнением при всевозможных значениях произвольной постоянной .
Если в области выполнено условие , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения как неявная функция . Через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая уравнения (1).
Если рассматриваемая область односвязна, а производные также непрерывны в , то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия
(признак уравнения в полных дифференциалах).
Интегрирующий множитель
правитьНепрерывная функция в называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, то есть для некоторой функции . Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.
Функция является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению
(область по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).
Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде или , но это не всегда возможно.
Алгоритм решения
править(1)
(2)
(3)
Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:
(*)
Подставим в (3).2:
В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: . Проинтегрируем по x и подставим в (*).
Уравнения с разделяющимися переменными
правитьЕсли в уравнении (1) , то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:
- Решения уравнения с разделяющимися переменными
- Решения уравнения являются решениями (3).
- Если область выбрана так, что , то разделив на получим уравнение с разделёнными переменными
Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку , имеет вид:
Пример дифференциального уравнения
править
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|