Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

где функции и определены и непрерывны в некоторой области .

Уравнения в полных дифференциалахПравить

Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть  , то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции  , т.е. определяются уравнением   при всевозможных значениях произвольной постоянной  .

Если в области   выполнено условие   , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения   как неявная функция  . Через каждую точку области   проходит единственная интегральная кривая   уравнения (1).

Если рассматриваемая область   односвязна, а производные  также непрерывны в  , то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

 

(признак уравнения в полных дифференциалах).

Интегрирующий множительПравить

Непрерывная функция   в   называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение   является уравнением в полных дифференциалах, то есть   для некоторой функции  . Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

Функция   является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

 

(область   по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде   или  , но это не всегда возможно.

Алгоритм решенияПравить

(1)  

(2)  

(3)  

Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

(*)  

Подставим в (3).2:

 

В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим:  . Проинтегрируем по x и подставим в (*).

Уравнения с разделяющимися переменнымиПравить

Если в уравнении (1)  , то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

 
  • Решения уравнения с разделяющимися переменными
    • Решения уравнения   являются решениями (3).
    • Если область   выбрана так, что  , то разделив на   получим уравнение с разделёнными переменными
 

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку  , имеет вид:

 

Пример дифференциального уравненияПравить