Простое число Вильсона

Простое число Вильсона (названо в честь английского математика Джона Вильсона[en]) — это простое число , такое, что делит , где «!» означает факториал. Заметьте, что по теореме Вильсона любое простое делит .

Известны только три простых числа Вильсона — это 5, 13 и 563 (последовательность A007540 в OEIS). Если существуют другие, они должны быть больше 2⋅1013.[1]

Была высказана гипотеза, что существует бесконечно много простых чисел Вильсона, и их количество в интервале [xy] около log(log(y)/log(x)).[2]

Также была выдвинута гипотеза (см. комментарии к последовательности в OEIS), что p - число Вильсона тогда и только тогда, когда:

.

Было предпринято несколько попыток поиска простых чисел Вильсона.[3][4][5]

Проект распределённых вычислений Ibercivis[en] включает поиск простых чисел Вильсона.[6] Другой поиск координируется проектом mersenneforum.[7]

ОбобщенияПравить

Почти простые ВильсонаПравить

Простые p, для которых выполняется (p − 1)! ≡ − 1 + Bp (mod p2) для малых |B| могут быть названы почти простыми Вильсона. Почти простые Вильсона с B = 0 представляют собой простые числа Вильсона. Следующая таблица дает список всех таких чисел с |B| ≤ 100 от 106 до 4⋅1011:[1]

Числа ВильсонаПравить

Число Вильсона — это целое m, такое, что W(m) ≡ 0 (mod m), где W(m) означает дробь Вильсона

 

(последовательность A157250 в OEIS).

Если m — простое, то оно будет и простым Вильсона. С учётом числа   имеется 13 чисел Вильсона до 5⋅108.[8]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 A Search for Wilson primes Retrieved on November 2, 2012.
  2. The Prime Glossary: Wilson prime
  3. McIntosh, R. WILSON STATUS (Feb. 1999). E-Mail to Paul Zimmermann (9 марта 2004). Дата обращения: 6 июня 2011. Архивировано 29 января 2013 года.
  4. A search for Wieferich and Wilson primes, p 443
  5. Ribenboim, P. (англ.); Keller, W. Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (нем.). — Berlin Heidelberg New York: Springer, 2006. — S. 241. — ISBN 3-540-34283-4.
  6. Ibercivis site (недоступная ссылка). Дата обращения: 16 января 2013. Архивировано 20 июня 2012 года.
  7. Distributed search for Wilson primes (at mersenneforum.org)
  8. Takashi Agoh; Karl Dilcher, Ladislav Skula. Wilson quotients for composite moduli (англ.) // Math. Comput. (англ.) : journal. — 1998. — Vol. 67, no. 222. — P. 843—861. — doi:10.1090/S0025-5718-98-00951-X.

СсылкиПравить

СсылкиПравить