Простой идеал

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала, — локализация кольца.

ОпределениеПравить

Идеал   в кольца   называется простым, если факторкольцо   по нему является областью целостности.

Равносильная формулировка: если   и из   следует   или  , то   являет собой простой идеал.

Связанные понятияПравить

Множество всех простых идеалов кольца   образует спектр кольца  . В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

СвойстваПравить

  • Идеал   прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
  • Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце   с единицей задан идеал  , не пересекающийся с мультипликативной системой  . Тогда существует простой идеал  , содержащий   и не пересекающийся с системой  .[источник не указан 2795 дней]
  • Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал  , совпадает с радикалом идеала  . Радикал идеала   — это множество  . Оно также является идеалом кольца  .

ПримерыПравить

  • В кольце многочленов от одной переменной   каждый простой идеал имеет вид  , где   — неприводимый над   многочлен.
  • В кольце многочленов   множество   является простым идеалом.

Некоммутативный случайПравить

Понятие простого идеала является частным случаем понятия (некоммутативного) первичного идеала: первичным идеалом   кольца   называется всякий идеал (не совпадающий со всем кольцом) такой, что если два элемента   таковы, что  , то или  , или  .

ЛитератураПравить

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.