Открыть главное меню

Простой идеал в теории колец — такой идеал кольца , факторкольцо по которому является областью целостности. Равносильная формулировка: если и из следует или .

Понятие простого идеала является частным случаем понятия первичного идеала.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала — локализация кольца по простому идеалу .

Множество всех простых идеалов кольца образует спектр кольца . В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.


СвойстваПравить

  • Максимальный идеал   кольца   (то есть собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.
  • Идеал   прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
  • Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце   с единицей задан идеал  , не пересекающийся с мультипликативной системой  . Тогда существует простой идеал  , содержащий   и не пересекающийся с системой  .[источник не указан 2293 дня]
  • Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал  , совпадает с радикалом идеала  . Радикал идеала   — это множество  . Оно тоже является идеалом кольца  .

ПримерыПравить

  • В кольце целых чисел   каждый простой идеал имеет вид  , где   — простое число.
  • В кольце многочленов от одной переменной   каждый простой идеал имеет вид  , где   — неприводимый над   многочлен.
  • В кольце многочленов   множество   является простым идеалом.

ЛитератураПравить

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.