Открыть главное меню

Простой элемент

Простой элемент ― обобщение понятия простого числа на случай произвольного коммутативного моноида с двусторонним сокращением, определяется как не являющийся делителем единицы ненулевой элемент , такой, что произведение может делиться на лишь тогда, когда хотя бы один из элементов или делится на .

Простой элемент всегда неприводим, в общем случае из неприводимости простоты не следует, но в гауссовой полугруппе понятия неприводимости и простоты совпадают, и более того, если всякий неприводимый элемент из является простым, то полугруппа — гауссова.

Понятие естественным образом переносится на области целостности, в этом случае имеет место эквивалентность неприводимости и простоты элемента для факториальных (гауссовых) колец, и из простоты всех неприводимых элементов в области целостности следует, что кольцо факториально. Кроме того, простота элемента эквивалентна простоте главного идеала, им порождённого.

Существуют также обобщения понятий простоты и неприводимости на некоммутативный случай.

ЛитератураПравить

  • Кон П. Свободные кольца и их связи. — М., 1975.
  • Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2-е изд. — М.: Физматлит, 1973.
  • Простой элемент — статья из Математической энциклопедии. О. А. Иванова
  • Шеврин Л. Н.  Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.