Открыть главное меню

Пространства Адамара (или полное CAT(0) пространство с внутренней метрикой) — нелинейное обобщение гильбертовых пространств, частный случай пространства Александрова с кривизной ограниченной сверху.

Пространства названы в честь Жака Адамара.

Содержание

ОпределениеПравить

Пространство Адамара — непустое полное метрическое пространство, где для  любых двух точек x и y найдётся точка m такая, что неравенство

 

выполняется для любой точки z.

ЗамечанияПравить

  • Заметим, что точка   лежит ровно посередине   и  , то есть
     .
Это можно увидеть, предположив   в неравенстве выше.
  • В Гильбертовом пространстве неравенство выше превращается в равенство (с  ).
  • Пространства Адамара можно определить как полные CAT(0) пространства.

СвойстваПравить

  • Теорема Решетняка о склеивании утверждает в частности, что пространство, полученное склейкой двух пространств Адамара по изометричным выпуклым множествам, также является пространством Адамара.
  • Нормированное пространство является пространством Адамара тогда и только тогда, когда оно является гильбертовым.
  • В пространстве Адамара, любые две точки можно соединить с помощью единственной геодезической.
  • Всякое ограниченное подмножество пространства Адамара содержится в единственном замкнутом шаре с минимальным радиусом. Центр этого шара называется центром множества.
    • В частности, если   — это группа из движений в пространстве Адамара, которая оставляет инвариантным ограниченное множество, то   фиксирует и его центр.
  • Локально выпуклое замкнутое множество в пространстве Адамара является глобально выпуклым.
  • По теореме Картана — Адамара, пространство   является пространством Адамара, если оно односвязно и любая точка допускает замкнутую окрестность, являющуюся пространством Адамара.

ПримерыПравить

ЛитератураПравить

  • Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.