Пространство Лобачевского

Пространство Лобачевского или гиперболическое пространство — это пространство, которое имеет постоянную отрицательную кривизну. Двумерным пространством Лобачевского является плоскость Лобачевского.

Перспективная проекция додекаэдрального заполнения H3[en].
Четыре додекаэдра соприкасаются в каждом ребре, а восемь соприкасаются в каждой вершине, подобно кубам в кубическом заполнении E3

Отрицательная кривизна отличает пространство Лобачевского от евклидова пространства с нулевой кривизной, описываемого евклидовой геометрией, и от сферы — пространства с постоянной положительной кривизной, описываемого геометрией Римана.

n-мерное пространство Лобачевского, обычно обозначается или .

ОпределениеПравить

n-мерным пространством Лобачевского называется односвязное n-мерное риманово многообразие с постоянной отрицательной секционной кривизной.

Модели гиперболического пространстваПравить

Пространство Лобачевского, которое независимо исследовали Николай Иванович Лобачевский и Янош Бойяи, является геометрическим пространством, аналогичным евклидову пространству, но в нём аксиома параллельности Евклида не выполняется. Вместо этого аксиома параллельности заменяется на следующую альтернативную аксиому (в пространстве размерности два):

  • Если дана какая-либо прямая L и точка P, не лежащая на прямой L, то существует по меньшей мере две различные прямые, проходящие через P, которые не пересекают L.

Отсюда вытекает теорема, что существует бесконечно много таких прямых, проходящих через P. Аксиома не определяет однозначно плоскость Лобачевского с точностью до движения. Существует дополнительная константа, кривизна K < 0, которая должна быть задана. Однако аксиома определяет плоскость с точностью до гомотетии, то есть с точностью до преобразований, которые лишь меняют расстояния на некоторый постоянный множитель. Если можно выбрать подходящий масштаб длины, то можно предположить без потери общности, что K = −1.

Можно построить модели пространств Лобачевского, которые могут быть вложены в плоские (то есть евклидовы) пространства. В частности, из существования модели пространства Лобачевского в евклидовом вытекает, что аксиома параллельности логически независима от других аксиом евклидовой геометрии.

Существует несколько важных моделей пространства Лобачевского — модель Клейна, гиперболоидная модель, модель Пуанкаре в шаре и Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости. Все эти модели имеют одну и ту же геометрию в том смысле, что любые две из них связаны преобразованием, которое сохраняет все геометрические свойства описываемого ими гиперболического пространства.

Гиперболоидная модельПравить

Основная статья: Гиперболоидная модель

Гиперболоидная модель реализует пространство Лобачевского как гиперболоид в  . Гиперболоид является геометрическим местом   точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

 

В этой модели прямая (или геодезическая) — это кривая, образованная пересечением   с плоскостью, проходящей через начало координат в  .

Гиперболоидная модель тесно связано с геометрией пространства Минковского. Квадратичная форма

 

которая определяет гиперболоид, позволяет задать соответствующую билинейную форму

 

Пространство  , снабжённое билинейной формой B, является (n+1)-мерным пространством Минковского  .

Можно задать «расстояние» на гиперболоидной модели, определив[1] расстояние между двумя точками x и y на   как

 

Эта функция является метрикой, так как для неё выполнены аксиомы метрического пространства. Она сохраняется под действием ортохронной группы Лоренца O+(n,1) на  . Следовательно, ортохронная группа Лоренца действует на   как группа автоморфизмов, сохраняющих расстояние (движений).

Модель КлейнаПравить

Основная статья: Проективная модель

Альтернативной моделью геометрии Лобачевского является определённая область в проективном пространстве. Квадратичная форма Минковского Q определяет подмножество  , заданное как множество точек, для которых   в однородных координатах x. Область Un является моделью Клейна пространства Лобачевского.

Прямыми в этой модели являются открытые отрезки объемлющего проективного пространства, которые лежат в Un. Расстояние между двумя точками x и y в Un определяется как

 

Это расстояние вполне определено на проективном пространстве, поскольку отношение при обратном гиперболическом косинусе не меняется при изменении всех координат на один и тот же множитель (с точностью до которого и определены однородные координаты).

Эта модель связана с гиперболоидной моделью следующим образом. Каждая точка   соответствует прямой Lx через начало координат в   по определению проективного пространства. Эта прямая пересекает гиперболоид   в единственной точке. Обратно, через любую точку на   проходит единственная прямая, проходящая через начало координат (что есть точка в проективном пространстве). Это соответствие определяет биекцию между Un и  . Это изометрия, поскольку вычисление d(x,y) вдоль   воспроизводит определение расстояния в гиперболоидной модели.

Модель Пуанкаре в шареПравить

Имеются две тесно связанные модели геометрии Лобачевского в евклидовой: модель Пуанкаре в шаре и модель Пуанкаре в верхней полуплоскости.

Модель шара возникает из стереографической проекции гиперболоида в   в гиперплоскость  . Подробнее, пусть S будет точкой в   с координатами (−1,0,0,...,0) — южным полюсом для стереографической проекции. Для каждой точки P на гиперболоиде   пусть P будет единственной точкой пересечений прямой SP с плоскостью  .

Это устанавливает биективное отображение   в единичный шар

 

в плоскости {x0 = 0}.

Геодезические в этой модели являются полуокружностями, перпендикулярными границе сферы Bn. Изометрии шара генерируются сферическими инверсиями относительно гиперсфер, перпендикулярных границе.

Модель Пуанкаре в верхней полуплоскостиПравить

Модель верхней полуплоскости получается из модели Пуанкаре в шаре при применении инверсии с центром на границе модели Пуанкаре Bn (см. выше) и радиусом, равным удвоенному радиусу модели.

Это преобразование отображает окружности в окружности и прямые (в последнем случае – если окружность проходит через центр инверсии) и, более того, это конформное отображение. Следовательно, геодезическими модели верхней полуплоскости являются прямые и (полу)окружности, перпендикулярные границе гиперплоскости.

Гиперболические многообразияПравить

Любое полное, связное, односвязное многообразие постоянной отрицательной кривизны −1 изометрично пространству Лобачевского  . Как результат, универсальным накрытием любого замкнутого многообразия M постоянной отрицательной кривизны −1, то есть гиперболического многообразия[en], является  . Тогда любое такое многообразие M можно записать как  , где   является дискретной группой[en] изометрий без кручения на  . То есть   является решёткой в SO+(n,1).

Римановы поверхностиПравить

Двумерные гиперболические поверхности можно также понимать как римановы поверхности. Согласно теореме об униформизации любая риманова поверхность является эллиптической, параболической, или гиперболической. Большинство гиперболических поверхностей имеют нетривиальную фундаментальную группу  . Группы, которые возникают таким образом, называются фуксовыми. Факторпространство   верхней полуплоскости по фундаментальной группе называется фуксовой моделью гиперболической поверхности. Верхняя полуплоскость Пуанкаре также гиперболична, но односвязна и не компактна. Поэтому она является универсальным накрытием других гиперболических поверхностей.

Аналогичным построением для трёхмерных гиперболических поверхностей является модель Клейна[en]*.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Это выражение похоже на хордальную метрику на сфере, в которой выражение аналогично, но вместо гиперболических функций используются тригонометрические.

ЛитератураПравить

  • Norbert A'Campo, Athanase Papadopoulos. Notes on hyperbolic geometry // Strasbourg Master class on Geometry. — Zürich: European Mathematical Society (EMS), 2012. — Т. 18. — С. 1–182. — (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics). — ISBN 978-3-03719-105-7. — doi:10.4171/105..
  • John G. Ratcliffe. Foundations of hyperbolic manifolds. — New York, Berlin: Springer-Verlag, 1994.
  • William F. Reynolds. Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid // American Mathematical Monthly. — 1993. — Вып. 100. — С. 442–455.
  • Joseph A. Wolf. Spaces of constant curvature. — 1967. — С. 67. Перевод:
    • Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. — М.: «Наука», 1982.
  • Hyperbolic Voronoi diagrams made easy, Frank Nielsen