Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

Пространство квадратично-суммируемых последовательностей — метрическое пространство, одно из базовых пространств последовательностей, состоит из бесконечных последовательностей чисел $x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }$ для которых ряд:

$\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2}$

сходится и в котором определено расстояние $\rho (x,y)$ между двумя точками $x,y$ как :

$\rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-y_{i})^{2}}}$.

Стандартное обозначение — $\ell ^{2}$. Единственное из пространств последовательностей $\ell ^{p}$, являющееся гильбертовым.

Сумма элементов и умножение на вещественное число определяются покомпонентно по аналогии с евклидовым пространством:

$\{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }+\{y_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{x_{i}+y_{i}\}_{i=1}^{\infty }$, $\lambda \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{\lambda x_{i}\}_{i=1}^{\infty }$.

Скалярное произведение:

$(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}$.

Норма в таком пространстве определяется как:

$\left\|x\right\|={\sqrt {(x,x)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{2}}}$.

Примеры:

• бесконечные последовательности вида $x=(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots )$ входят в $\ell ^{2}$, так как ряд $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ сходится;
• коэффициенты ряда Фурье $f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$ таковы, что $({\frac {a_{0}}{2}},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n},\dots )\in \ell ^{2}$, что следует из неравенства Бесселя.

Любое евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ является подпространством пространства $\ell ^{2}$, что следует из возможности представления его точек в виде $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},0,0,\dots )$.

Квантовая механика первоначально была разработана в виде двух эквивалентных теорий: матричной механики Гейзенберга, использующей пространство $\ell ^{2}$, и волновой механики Шрёдингера, использующей изоморфное ему гильбертово пространство $L^{2}$.

Пространство $\ell ^{2}$ иногда называют координатным гильбертовым пространством.

См. также

• Пространство ограниченных последовательностей

Литература

• Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М.: Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.
• Гильбертово пространство — статья из Математического энциклопедического словаря