Открыть главное меню
Вектор-строки матрицы. Пространство строк матрицы — это линейная оболочка вектор-строк.
Вектор-столбцы матрицы. Пространство столбцов матрицы — это линейная оболочка вектор-столбцов.

Пространство столбцов (также образ, область значений) матрицы  — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения.

Пусть  — некоторое поле. Пространство столбцов матрицы размера с компонентами из является линейным подпространством координатного пространства . Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит [1]. Понятие также определено для матриц заданных над кольцом .

Пространство строк определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы над вещественными числами, то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами и соответственно[2].

ОбзорПравить

Пусть   — матрица размера  .Тогда имеют место такие утверждения про её ранг  , где   и   — её пространства столбцов и строк соответственно:

  1.  [3],
  2.   равен числу опорных элементов в любом ступенчатом виде  ,
  3.   равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов матрицы  [4].

Пространство столбцов матрицы   совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов  . То есть, если  , то  , где   — линейная оболочка  .

Действие матрицы   на некоторый вектор   может быть представлено как линейная комбинация столбцов   с коэффициентами, соответствующими координатам  . Значит,   всегда лежит в  . Таким образом, если рассматривать матрицу как линейное отображение из   в  , то пространство столбцов матрицы будет соответствовать образу данного отображения.

Концепция пространства столбцов может быть обобщена на матрицы, заданные над полем комплексных чисел   или, в общем случае, над произвольным полем  .

Пример

Дана матрицы  :

 

Её строки:

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .

Следовательно, пространство строк матрицы   это подпространство  , заданное как  . Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки линейно независимы. Кроме того, в данном случае все строки ортогональны вектору  , из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов  , которые ортогональны вектору  .

Пространство столбцовПравить

ОпределениеПравить

Пусть   — некоторое поле скаляров, над которым задана матрица   размера   со столбцами  . Линейная комбинация этих векторов — это любой вектор вида:

 

Где   — скаляры. Множество всех возможных комбинаций   называется пространством столбцов  . То есть, пространство столбцов   — это линейная оболочка векторов  .

Любая линейная комбинация столбцов матрицы   может быть записана как умножение матрицы   на некоторый вектор-столбец:

 

Таким образом, пространство столбцов   состоит из всех возможных произведений  , где  , что то же самое, что образ (или область значений) соответствующего отображения.

Пример
Если  , то её столбцы это   и  .
Линейная комбинация   и   — это любой вектор, имеющий следующий вид:
  Множество всех таких векторов образует пространство столбцов  . В данном случае пространство столбцов это в точности множество векторов  , удовлетворяющих уравнению  .
В декартовой системе координат это множество соответствует некоторой плоскости, проходящей через начало отсчёт в трёхмерном пространстве.

БазисПравить

Столбцы матрицы   порождают пространство столбцов, но они могут не образовывать базис если столбцы не линейно независимы. К счасть, элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейные зависимости между столбцами. Это позволяет находить базис в пространстве столбцов методом Гаусса.

Например, дана такая матрица:

 

Столбцы этой матрицы не линейно независимы, что значит, что базис образует некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём   к ступенчатому виду по строкам:

 [5]

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, в то время как третий является линейной комбинацией первых двух (точнее,  ). Поэтому первый, второй и четвёртый столбцы образуют базис в пространстве столбцов:

 

Стоит обратить внимание, что независимые столбцы это в точности столбцы, содержащие ведущие элементы, что позволяет сводить задачу поиска базиса в множестве столбцов к приведению матрицы к ступенчатому виду.

Алгоритм выше может быть использован для поиска зависимостей и нахождения базиса в любом множестве векторов. Также нахождение базиса пространства столбцов   эквивалентно нахождению оного для пространства строк транспонированной матрицы  . На практике (например, при работе с большими матрицами) для нахождения базиса обычно используется сингулярное разложение.

РазмерностьПравить

Основная статья: Ранг матрицы

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в ступенчатом виде матрицы, а также наибольшему числу её линейно независимых столбцов. Например, ранг матрицы выше равен  .

Так как пространство столбцов это образ соответствующего отображения, ранг матрицы равен размерности образа. Например, для отображения   заданного матрицей выше отображает   в некоторое трёхмерное подпространство.

Размерность ядра матрицы равна числу столбцов, которые не содержат ведущих элементов[6]. Ранг и размерность ядра матрицы   c   столбцами связаны уравнением:

 

Связь с коядромПравить

Коядро (левый аннулятор) матрицы   это множество векторов   таких что  . Коядро матрицы   совпадает с ядром  . Произведение   на   может быть записано в виде скалярных произведений векторов

 

Потому что строки   являются транспонированными столбцами   матрицы  . Поэтому   тогда и только тогда когда   ортогонален ко всем столбцам  .

Отсюда следует, что коядро   (ядро  ) — это ортогональное дополнение к пространству столбцов  .

Для матрицы над кольцамиПравить

Аналогичным образом пространство столбцов (иногда с уточнением как правое пространство столбцов) может быть определено для матриц над кольцом   как:

 

Где  . Координатное пространство при этом меняется на правый свободный модуль, что также меняет порядок в умножении на скаляр вектора   на скаляр   таким образом, что они записываются в порядке вектор-скаляр[7].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Линейная алгебра — очень хорошо изученная математическая дисциплина с огромным числом источников. Почти все материалы из этой статьи могут быть найдены в Lay (2005), Meyer (2001), и Strang (2005).
  2. Anton (1987, p. 179)
  3. Anton (1987, p. 183)
  4. Beauregard & Fraleigh (1973, p. 254)
  5. В указанных вычислениях используется метод Метод Гаусса — Жордана. Каждый из изображенных шагов включает несколько элементарных преобразований строк.
  6. Столбцы без ведущих элементов представляют свободные уравнения в соответствующей однородной системе линейных уравнений.
  7. Это важно только если   не коммутативно. В действительности такая форма это не более чем результат умножения   матрицы   на столбец  , в котором порядок множителей сохранён, в отличие от формулы выше.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить