Открыть главное меню

Числа-близнецы

(перенаправлено с «Простые близнецы»)

Общая информацияПравить

Все пары чисел-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид   так как числа с другими вычетами по модулю 6 делятся на 2 или на 3. Если учитывать также делимость на 5, то окажется, что все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид  ,   либо  . Для любого целого   пара   является парой чисел-близнецов тогда и только тогда, если   делится на   (следствие теоремы Вильсона).

Первые числа-близнецы[1]:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Наибольшими известными простыми-близнецами являются числа  [2]. Они были найдены в сентябре 2016 года в рамках проекта добровольных вычислений PrimeGrid[3][4].

Существование бесконечного множества простых чисел близнецов было доказано в 2013 году математиком Итаном Чжаном[5]. По первой гипотезе Харди — Литтлвуда (англ.), количество   пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к

 

где   — константа простых-близнецов:

 [6]

ИсторияПравить

Гипотеза о существовании бесконечного числа чисел-близнецов была открытой в течение многих лет. В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу: для любого натурального   существует бесконечное число таких пар простых чисел   и  , что  ».

17 апреля 2013 года Итан Чжан сообщил о доказательстве того, что существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 70 миллионов. Работа была принята в Анналы математики в мае 2013 года. 30 мая 2013 года австралийский математик Скотт Моррисон сообщил о снижении оценки до 59 470 640[7]. Буквально через несколько дней австралийский математик, лауреат Филдсовской медали Теренс Тао доказал, что граница может быть уменьшена на порядок — до 4 982 086[7]. Впоследствии он предложил проекту Polymath совместными усилиями оптимизировать границу.

В ноябре 2013 года 27-летний британский математик Джэймс Мэйнард применил алгоритм, разработанный в 2005 году Дэниелем Голдстоном, Яношом Пинтцем и Семом Йилдиримом, под названием GPY (аббревиатура по первым буквам фамилий), и доказал, что существует бесконечно много соседних простых чисел, лежащих на расстоянии не более 600 друг от друга. В день выхода препринта работы Джеймса Мэйнарда Теренс Тао опубликовал в личном блоге пост с предложением запустить новый проект, polymath8b, и уже через неделю оценка была снижена до 576, а 6 января 2014 — до 270. Наилучший научно доказанный результат был достигнут в апреле 2014 года Пэйсом Нильсеном из университета Брайгама Янга в Юте — 246[8][7].

В предположении справедливости гипотезы Эллиота — Халберстама и её обобщения оценка может быть снижена до 12 и 6 соответственно[9].

Теорема БрунаПравить

Ещё Эйлер выяснил (1740), что «ряд обратных простым» расходится:

 

Норвежский математик Вигго Брун доказал (1919), что   и ряд обратных величин для пар близнецов сходится:

 

Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко. Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщённых простых близнецов.

Значение   называется константой Бруна для простых-близнецов.

СпискиПравить

Самые большие известные простые близнецы:

Число Количество десятичных знаков
 
388342
 
200700
 
100355
 
60219
 
60218
 
59855
 
58711
 
52165
 
51780
 
51780

Простые числа-триплетыПравить

Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел   или   называется триплетом.

Первые простые числа-триплеты[10]:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

По состоянию на 2018 год наибольшими известными простыми-триплетами являются числа  , где   (16737 цифр, апрель 2013 года[11]).

Квадруплеты простых чиселПравить

Четвёрки простых чисел вида   или сдвоенные близнецы или квадруплеты[12]:

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733, 15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047, 18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429), (21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25309), …

По модулю 30 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид (11, 13, 17, 19).

По модулю 210 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид либо (11, 13, 17, 19), либо (101, 103, 107, 109), либо (191, 193, 197, 199).

Секступлеты простых чиселПравить

Шестёрки простых чисел вида  [13]:

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) …

По модулю 210 все секступлеты, кроме первого, имеют вид (97, 101, 103, 107, 109, 113).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Последовательности A001359, A006512 в OEIS
  2. The Largest Known Primes
  3. Caldwell, Chris K. The Prime Database: 2996863034895*2^1290000-1.
  4. World Record Twin Primes Found!.
  5. The n-Category Café (англ.). golem.ph.utexas.edu. Дата обращения 22 ноября 2019.
  6. последовательность A005597 в OEIS — десятичное разложение константы простых-близнецов.
  7. 1 2 3 Сергей Немалевич. Братишка, ты цел?. Интернет-издание N+1 (6 ноября 2015). Дата обращения 10 ноября 2015.
  8. Bounded gaps between primes. Polymath. Дата обращения 27 марта 2014.
  9. http://arxiv.org/abs/1407.4897 and http://arxiv.org/pdf/1407.4897v2.pdf
  10. Последовательности A007529, A098414, A098415 в OEIS
  11. Peter Kaiser, Srsieve, LLR, OpenPFGW
  12. Последовательности A007530, A136720, A136721, A090258 в OEIS
  13. Последовательность A022008 в OEIS