Процесс Пуассона

Процесс Пуассона, поток Пуассона, пуассоновский процесс[1] — ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и подчиняется распределению Пуассона. В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.[2]

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.

КлассификацияПравить

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс ПуассонаПравить

Пусть  . Случайный процесс   называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью  , если

  1.   почти наверное.
  2.   — процесс с независимыми приращениями.
  3.   для любых  , где   обозначает распределение Пуассона с параметром  .

Сложный (обобщённый) пуассоновский процессПравить

  • Пусть   последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
  • Пусть   — простой пуассоновский процесс с интенсивностью  , не зависящий от последовательности  .

Обозначим через   сумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс   как   .

СвойстваПравить

 ,

то есть момент  -го скачка имеет гамма-распределение  .

  • Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, непрерывные справа, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно
 
 
  при  ,

где   обозначает «о малое».

КритерийПравить

Для того чтобы некоторый случайный процесс   с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

  1.  .
  2. Процесс имеет независимые приращения.
  3. Процесс однородный.
  4. Процесс принимает целые неотрицательные значения.
  5.   при  .

Информационные свойстваПравить

  • Пусть   — моменты скачков процесса Пуассона.  .

Зависит ли   от предыдущей части траектории?
  — ?

Пусть  .

 
 
 .
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.

  • Рассмотрим отрезок   на временно́й оси.

  — число скачков на отрезке  .
Условное распределение моментов скачков   совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины   из  .

Плотность этого распределения  

Центральная предельная теоремаПравить

  • Теорема.

 

Скорость сходимости:
 ,
где   — константа Берри-Эссеена.

ПрименениеПравить

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Также возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам.

ЛитератураПравить

  • Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
  • ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
  • Кингман Дж. Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

ПримечанияПравить

  1. «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 4. — 1104 с. — 148 800 экз.
  2. Словарь по кибернетике / Под редакцией академика В. С. Михалевича. — 2-е. — Киев: Главная редакция Украинской Советской Энциклопедии имени М. П. Бажана, 1989. — С. 534. — 751 с. — (С48). — 50 000 экз. — ISBN 5-88500-008-5.

См. такжеПравить