Прямая Симсона

Прямая Симсона — прямая, проходящая через основания перпендикуляров на стороны треугольника из точки на его описанной окружности. Её существование опирается на теорему Симсона.

Прямая Симсона треугольника ABC

Теорема СимсонаПравить

Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки   описанной окружности треугольника   на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона[1].

Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из точки   на стороны треугольника   или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка   лежит на описанной окружности треугольника.

ИсторияПравить

Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687—1768), но в действительности она была открыта лишь в 1797 году шотландским математиком Уильямом Уоллесом. Поэтому наряду с традиционным названием этой прямой часто используется исторически более справедливое название прямая Уоллеса.[2]

СвойстваПравить

 
Прямые Симсона (красным цветом) являются касательными к дельтоиде Штейнера (синим цветом).
  • Пусть   — ортоцентр треугольника  . Тогда прямая Симсона произвольной точки   на описанной окружности треугольника   делит отрезок   пополам в точке, лежащей на окружности девяти точек.
  • Если P и Q являются точками на описанной окружности, то угол между прямыми Симсона точек P и Q равен половине угла дуги PQ.
    • В частности, если 2 точки на описанной окружности диаметрально противоположны, их прямые Симсона перпендикулярны, и в этом случае точка пересечения 2 перпендикулярных прямых Симсона также лежит на окружности девяти точек. При этом вторые точки пересечения 2 перпендикулярных прямых Симсона с окружностью девяти точек будут концами диаметра последней окружности.
  • Для двух данных треугольников с одной и той же описанной окружностью, угол между прямыми Симсона точки P на окружности для обоих треугольников не зависит от P.

Прямая Симсона и треугольник МорлеяПравить

Прямая Симсона и прямая ШтейнераПравить

  • Точки, симметричные точке P на описанной окружности относительно сторон треугольника лежат на одной прямой, проходящей через ортоцентр. Эта прямая (прямая Штейнера) параллельна прямой Симсона и переходит в нее при гомотетии с коэффициентом 1/2

Прямая Симсона и точка ФейербахаПравить

  • Точка Фейербаха, то есть точка касания вписанной или вневписанной окружности с окружностью девяти точек, является точкой пересечения двух прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной окружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности.[3].
    • В частности, точки Фейербаха могут быть построены без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся её окружности Эйлера.

Прямая Симсона и дельтоидаПравить

Прямая Симсона и ортополюсПравить

Уравнение прямой СимсонаПравить

  • Помещая треугольник на комплексную плоскость, предположим, что треугольник ABC вписан в единичную окружность и имеет вершины, комплексные координаты которых есть a , b , c , и пусть P с комплексной координатой p является точкой на окружности. Тогда прямая Симсона описывается следующим уравнением на z:[7]
     
где черта сверху указывает на комплексное сопряжение.

Вариации и обобщенияПравить

  • Ни один выпуклый многоугольник, имеющий не менее 5 сторон, не имеет прямой Симсона.[8]
  • Если из данной точки   описанной окружности треугольника   провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.
  • Прямую Симсона можно определить для любого вписанного  -угольника по индукции следующим образом: прямой Симсона точки   относительно данного  -угольника назовем прямую, содержащую проекции точки   на прямые Симсона всех  -угольников, полученных выбрасыванием одной вершины  -угольника.
  • Теорема Сальмона
  • Подерный треугольник — треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника; в случае когда точка лежит на описанной окружности подерный треугольник вырождается и его вершины лежат на прямой Симсона.
  • Пусть ABC — треугольник, и пусть прямая ℓ (зеленая на рисунке) проходит через центр X3 описанной окружности, а точка P лежит на окружности. Пусть AP, BP, CP пересекают прямую ℓ соответственно в точках Ap, Bp, Cp. Пусть A0, B0, C0 представляют собой проекции точек Ap, Bp, Cp соответственно на прямые BC, CA, AB. Тогда 3 точки A0, B0, C0 коллинеарные точки, то есть лежат на одной прямой. Кроме того, проходящая через них, прямая одновременно проходит через середину отрезка PH, где H является ортоцентром треугольника ABC. Если ℓ проходит через P, то прямая совпадёт с прямой Симсона. [9][10][11]
 
Обобщение прямой Симсона

ПримерыПравить

  • Прямая Симсона точки Штейнера треугольника   параллельна прямой  , а прямая Симсона точки Тарри перпендикулярна прямой  , где   — центр описанной окружности и   — точка пересечения трёх симедиан (точка Лемуана) треугольника  .

ПримечанияПравить

  1. Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
  2. Gibson History 7 - Robert Simson (30 января 2008).
  3. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Remark. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false
  4. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). Под ред. А.П. Нордена., М.: Физматлит, 1960. С. 127.
  5. 1 2 The Orthopole (21 January 2017).
  6. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Параграф: G. The Orthopole. Пункт. 697. Теорема. Fig. 155. С.289-290). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
  7. Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", Forum Geometricorum 17 (2017), 373-381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf
  8. Tsukerman, Emmanuel. On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas (англ.) // Forum Geometricorum (англ.) : journal. — 2013. — Vol. 13. — P. 197—208.
  9. A Generalization of Simson Line. Cut-the-knot (April 2015).
  10. Nguyen Van Linh (2016), Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem, Forum Geometricorum Т. 16: 57–61, <http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf> 
  11. Nguyen Le Phuoc and Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem. The Mathematical Gazette, 100, pp 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. The Mathematical Gazette


Внешние ссылкиПравить

ЛитератураПравить