Открыть главное меню
Прямая Эйлера (красная) проходит через центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести и центр окружности девяти точек

Пряма́я Э́йлера может быть определена как прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.

Прямая Эйлера выделена зелёным цветом. ортоцентр; центроид (точка пересечения медиан); — центр описанной окружности; — центр окружности девяти точек.

Содержание

СвойстваПравить

  • Прямая Эйлера проходит через:
 
Точка Шиффлера   — точка пересечения прямых Эйлера трёх треугольников:  и  .
  • Теорема Шиффлера утверждает следующее: Если в треугольнике ABC с центром вписанной окружности I рассмотреть три треугольника BCI, CAI и ABI, то их три (первые) прямые Эйлера, а также (первая) прямая Эйлера треугольника ABC (все четыре прямые) пересекутся в одной точке — точке Шиффлера Sp (см. рис. справа).

Вторая прямая Эйлера (прямая Эйлера — Нагеля)Править

Указанную выше прямую Эйлера иногда называют (первой) обобщенной прямой Эйлера[1]. На этой прямой лежат 4 точки:

Вторую прямую Эйлера или прямую Эйлера-Нагеля определяет следующая Теорема Хузеля.

 

Указанную прямую иногда называют второй прямой Эйлера или прямой Эйлера-Нагеля. На этой прямой лежат 4 точки:

Перспектор Госсарда и прямые ЭйлераПравить

Если брать у треугольника ABC любую пару сторон, а третьей стороной брать первую прямую Эйлера треугольника ABC, то перебором трех вариантов можно построить три треугольника. Их первые прямые Эйлера образуют треугольник AgBgCg, конгруэнтный треугольнику ABC (равный ему, но повернутый на некоторый угол). Три пары отрезков, соединяюшие сходственные вершины этих двух конгруэнтных треугольников пересекутся в точке Pg, называемой перспектором Госсарда.

СсылкаПравить

Перспектор Госсарда (Gossard Perspector) http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html

ИсторияПравить

Теорема Эйлера была доказана в 1765 году Л. Эйлером. Тогда же он обнаружил и тот факт, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности — окружности Эйлера.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Зетель, 1962, с. 153.
  2. archive.lib.msu.edu
  3. faculty.evansville.edu
  4. A. Bogomolny Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (англ.). Дата обращения 8 апреля 2019.

ЛитератураПравить