Прямая Эйлера

Пряма́я Э́йлера — прямая, проходящая через центр описанной окружности и ортоцентр треугольника.

Прямая Эйлера (красная) проходит через центр описанной окружности треугольника, его ортоцентр, центр тяжести и центр окружности девяти точек
Прямая Эйлера выделена зелёным цветом. ортоцентр; центроид (точка пересечения медиан); — центр описанной окружности; — центр окружности девяти точек

СвойстваПравить

  • Прямая Эйлера проходит через:
    • Центроид треугольника
    • Ортоцентр треугольника
    • Точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности)
    • Центр окружности девяти точек
    • Точка Эксетера X(22)
    • Теорема Эйлера. Точка пересечения медиан M лежит на прямой Эйлера и делит отрезок между центром описанной окружности O и ортоцентром H в отношении 1:2 ( ).
    • Прямая  , проходящая через две точки Вектена   и  , пересекает прямую Эйлера в центре девяти точек треугольника  .
    • Уравнение прямой Эйлера в трилинейных координатах есть
       
  • На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью, она перпендикулярна прямой Эйлера.
 
Точка Шиффлера   — точка пересечения прямых Эйлера трёх треугольников:  и  
  • Теорема Шиффлера утверждает следующее: Если в треугольнике ABC с центром вписанной окружности I рассмотреть три треугольника BCI, CAI и ABI, то их три (первые) прямые Эйлера, а также (первая) прямая Эйлера треугольника ABC (все четыре прямые) пересекутся в одной точке — точке Шиффлера Sp (см. рис. справа).

Вторая прямая Эйлера (прямая Эйлера — Нагеля)Править

Указанную выше прямую Эйлера иногда называют (первой) обобщённой прямой Эйлера[1]. На этой прямой лежат 4 точки:

Вторую прямую Эйлера или прямую Эйлера-Нагеля определяет следующая Теорема Хузеля.

 

Указанную прямую иногда называют второй прямой Эйлера или прямой Эйлера-Нагеля. На этой прямой лежат 4 точки:

Перспектор Госсарда и прямые ЭйлераПравить

Если брать у треугольника ABC любую пару сторон, а третьей стороной брать первую прямую Эйлера треугольника ABC, то перебором трёх вариантов можно построить три треугольника. Их первые прямые Эйлера образуют треугольник AgBgCg, конгруэнтный треугольнику ABC (равный ему, но повëрнутый на некоторый угол). Три пары отрезков, соединяющие сходственные вершины этих двух конгруэнтных треугольников пересекутся в точке Pg, называемой перспектором Госсарда.

СсылкаПравить

Перспектор Госсарда (Gossard Perspector) http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html

ИсторияПравить

Теорема Эйлера была доказана в 1765 году Л. Эйлером. Тогда же он обнаружил и тот факт, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности — окружности Эйлера.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Зетель, 1962, с. 153.
  2. archive.lib.msu.edu. Дата обращения: 4 сентября 2015. Архивировано 2 июня 2013 года.
  3. faculty.evansville.edu. Дата обращения: 4 сентября 2015. Архивировано 10 февраля 2007 года.
  4. A. Bogomolny Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (англ.). Дата обращения: 8 апреля 2019. Архивировано 10 мая 2012 года.

ЛитератураПравить