Открыть главное меню

Прямая и обратная предельная теорема

Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.

Прямая и обратная предельная теоремаПравить

Прямая предельная теоремаПравить

Если последовательность функций распределения   слабо сходится к функции распределения   при  , то последовательность соответствующих характеристических функций   сходится поточечно к характеристической функции  .

Иными словами

Если  , то   в каждой точке  .

Обратная предельная теоремаПравить

Пусть последовательность характеристических функций   сходится поточечно к функции  , непрерывной в точке 0. Тогда последовательность соответствующих функций распределения   слабо сходится к функции   и   является характеристической функцией, соответствующей функции распределения  .

Доказательство прямой предельной теоремыПравить

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из второй теоремы Хелли и определения характеристической функции:

В качестве функции   возьмем  , а на   и   смотрим как на параметры.

ЗамечаниеПравить

Поточечную сходимость последовательности характеристических функций в этой теореме можно заменить равномерной сходимостью на любом компакте из  .

Доказательство обратной предельной теоремыПравить

Пусть   — последовательность функций распределения соответствующих последовательности характеристических функций  . Из первой теоремы Хелли следует, что существует слабо сходящаяся подпоследовательность

  такая что  

Докажем, что   является функцией распределения. Для этого достаточно показать, что  

Для доказательства понадобится следующее неравенство: пусть   произвольная случайная величина,   — её характеристическая функция, тогда для любых   и  

 

Положим  , тогда неравенство примет вид

 

Докажем неравенство  . Из определения характеристической функции и теоремы Фубини следует

 
 

Так как функция   непрерывна в точке   и является поточечным пределом характеристических функций  , то   и для любого   существует такое  , что для всех   удовлетворяющих неравенству   выполнено

 

Из того, что   при   вытекает для всех   и для  

 

Из неравенств   и   следует, что для любых   и  , таких что  

 

Из неравенств   и   имеем

 ,

для всех   и  . Из последнего неравенства в силу произвольности   и   получаем

 

то есть   — функция распределения. По прямой предельной теореме из доказанного следует

 

Но по условию теоремы

 

Следовательно

  — характеристическая функция, соответствующая функции распределения  

Докажем теперь, что

 

Предположим противное, пусть

  при  . Тогда существует  , причем   и   — функции распределения

По прямой предельной теореме имеем

 

и по теореме единственности  , но этого не может быть, так как

 ,

Следовательно

 

Теорема доказана.

ЛитератураПравить

  • Лазакович Н.В., Сташуленок С.П., Яблонский О.Л. Курс теории вероятностей. — 2003. — 322 с.
  • Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 244 с.

См. такжеПравить