Прямоугольная квантовая яма

Прямоуго́льная ква́нтовая я́ма — средняя. характеризующаяся наименьшей потенциальной энергией, часть трёхчастной квантовомеханической системы с кусочно-постоянной зависимостью потенциальной энергии от декартовой координаты. Обычно рассматривается симметричная система, в которой потенциал в крайних частях одинаков; такой профиль потенциала является одним из самых простых в квантовой механике. Он может быть математически представлен как отрицательная константа на некотором отрезке $-a\ldots a$ и нуль в остальных точках вещественной оси:

$U(x)={\begin{cases}-U_{0},&|x|\leqslant a,\\0,&|x|>a.\end{cases}}$

Порядок величины $a$ — несколько нанометров, величины $U_{0}$ — от долей до единиц эВ. Движение по двум другим координатам (то есть в плоскости $yz$) предполагается свободным.

Волновые функции частицы

Стационарное уравнение Шрёдингера для частицы массой $m$ в потенциале описанного профиля имеет вид

${\begin{cases}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)-U_{0}\Psi (x)=E\Psi ,&|x|\leqslant a,\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)=E\Psi ,&|x|>a.\end{cases}}$

Если ввести обозначения

$\varkappa ={\sqrt {-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}},$

$k_{0}={\sqrt {\frac {2mU_{0}}{\hbar ^{2}}}},$

$k={\sqrt {k_{0}^{2}-\varkappa ^{2}}},$

то оно примет вид

${\begin{cases}\Psi ''(x)+k^{2}\Psi =0,&|x|\leqslant a,\\\Psi ''(x)+\varkappa ^{2}\Psi =0,&|x|>a.\end{cases}}$

Потенциал инвариантен по отношению к инверсии пространства $U(x)=U(-x)$, поэтому решения уравнения являются собственными функциями оператора чётности, то есть являются либо чётными ($\Psi (x)=u_{+}(x)$), либо нечётными ($\Psi (x)=u_{-}(x)$). Чётные решения имеют вид

$u_{+}(x)={\begin{cases}A_{+}\cos kx,&|x|\leqslant a,\\A_{+}e^{\varkappa (a-|x|)}\cos ka&|x|>a,\end{cases}}$

где

$A_{+}={\frac {1}{\sqrt {a+{\frac {1}{k}}\sin ka\cos ka+{\frac {1}{\varkappa }}\cos ^{2}ka}}}$

Нечётные

$u_{-}(x)={\begin{cases}A_{-}\sin kx,&|x|\leqslant a,\\A_{-}e^{\varkappa (a-|x|)}\sin ka&|x|>a,\end{cases}}$

где

$A_{-}={\frac {1}{\sqrt {a-{\frac {1}{k}}\sin ka\cos ka+{\frac {1}{\varkappa }}\sin ^{2}ka}}}$

Литература

• Бом Д. Квантовая теория. — Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
• Флюгге З. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.