Псевдоголоморфная кривая

Псевдоголоморфная кривая (или J-голоморфная кривая) — гладкое отображение из Римановой поверхности в почти комплексное многообразие, удовлетворяющее уравнениям Коши — Римана.

История

Псевдоголоморфные кривые были введены в 1985 году Михаилом Громовым,  с тех пор они произвели революцию в изучении симплектических многообразий. В частности, теорема о симплектическом верблюде была доказана с использованием псевдоголоморфных кривых.

Они также используются в определении инвариантов Громова — Виттена, гомологий Флоера и играют важную роль в теории струн.

Определение

Пусть $X$ почти комплексное многообразие с почти комплексной структурой $J$. Пусть $C$ гладкая риманова поверхность (также называется комплексной кривой) с комплексной структурой $j$. Псевдоголоморфная кривая в $X$ представляет собой отображение $f:C\to X$ , которое удовлетворяет условию

$J\circ df=df\circ j,$

То есть дифференциал $df$  комплексно-линейный.

Замечания

• В частности, $J$ отображает касательные пространства

  $T_{x}f(C)\subseteq T_{x}X$

на себя.

• Несмотря на то, что псевдоголоморфные кривые определяются для произвольного почти комплексного многообразия, основные приложения псевдоголоморфных кривых приходятся на симплектические многообразия с совместимой почти комплексной структурой $J$
  • То есть такой, что следующее неравенство выполняется для всех ненулевых касательных векторов $v$

    $\omega (v,Jv)>0,$

где $\omega$ обозначает симплектическую форму.

• В частности

$(v,w)={\frac {1}{2}}\left(\omega (v,Jw)+\omega (w,Jv)\right)$

определяет Риманову метрику.

• Для данного $\omega$, пространство всех совместимых почти комплексных структур $J$ непусто и стягиваемо. 

Свойства

• Если псевдокомплексная структура $J\colon T_{p}\to T_{p}$ для симплектической формы с ассоциированной римановой метрикой $g$ то любая $J$-голоморфная кривая является минимальной поверхностью.
  • Более того, любая $J$-голоморфная кривая минимизирует площадь в своём гомологическом классе и $\omega$ является её калибровочной формой.

Список литературы

• Под редакцией Элиашберга Я. и Трейнора Л. Лекции по симплектической геометрии и топологии. — МЦНМО, 2008. — 424 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-130-8.
• Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
• M. Gromov. Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds (англ.) // Inventiones Mathematicae. — 1985. — Vol. 82. — P. 307—347. Архивировано 13 апреля 2018 года.
• Donaldson, Simon K. What Is...a Pseudoholomorphic Curve? (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : journal. — 2005. — October (vol. 52, no. 9). — P. 1026—1027.