Псевдопростое число

Псевдопростое число — натуральное число, обладающее некоторыми свойствами простых чисел, являясь тем не менее составным. В зависимости от рассматриваемых свойств существует несколько различных типов псевдопростых чисел.

Существование псевдопростых является препятствием для тестов простоты, пытающихся использовать те или иные свойства простых чисел для определения простоты данного числа.

Псевдопростые ФермаПравить

Составное число n называется псевдопростым Ферма по основанию a, если a и n взаимно просты и  .[1]

Псевдопростые Ферма по основанию 2 образуют последовательность:

341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, … (последовательность A001567 в OEIS)

а по основанию 3 — последовательность:

91, 121, 286, 671, 703, 949, 1105, 1541, 1729, 1891, 2465, 2665, 2701, 2821, … (последовательность A005935 в OEIS)

Число, являющееся псевдопростым Ферма по каждому взаимно простому с ним основанию, называется числом Кармайкла.

Псевдопростые Эйлера — ЯкобиПравить

Нечётное составное число n называется псевдопростым Эйлера — Якоби по основанию a, если оно удовлетворяет сравнению[2]

 

где   — символ Якоби. Так как из этого сравнения следует, что   то всякое псевдопростое Эйлера — Якоби также является псевдопростым Ферма (по тому же основанию).

Псевдопростые Эйлера — Якоби по основанию 2 образуют последовательность:

561, 1105, 1729, 1905, 2047, 2465, 3277, 4033, 4681, 6601, 8321, 8481, 10585, … (последовательность A047713 в OEIS)

а по основанию 3 — последовательность:

121, 703, 1729, 1891, 2821, 3281, 7381, 8401, 8911, 10585, 12403, 15457, 15841, … (последовательность A048950 в OEIS)

Псевдопростые ФибоначчиПравить

Основная статья: Псевдопростое число Фибоначчи

Псевдопростые ЛюкаПравить

Основная статья: Псевдопростое число Люка

Псевдопростые ПерринаПравить

Составное число q называется псевдопростым Перрина, если оно делит qчисло Перрина P(q), задаваемое рекуррентным соотношением:

P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2,

и

P(n) = P(n − 2) + P(n − 3) for n > 2.

Псевдопростые ФробениусаПравить

Псевдопростое число, прошедшее трёхшаговый тест принадлежности к возможно простым числам, разработанный Джоном Грантамом (Jon Grantham) в 1996-м году.[3][4]

Псевдопростые КаталанаПравить

Нечётное составное число n, удовлетворяющее сравнению

 

где Cm — m-ое число Каталана. Сравнение верно для любого нечётного простого числа n.

Известно только три псевдопростых чисел Каталана: 5907, 1194649, и 12327121 (последовательность A163209 в OEIS), причём два последних из них являются квадратами простых чисел Вифериха. В общем случае, если p — простое число Вифериха, то p2 — псевдопростое Каталана.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Weisstein, Eric W. Fermat Pseudoprime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Weisstein, Eric W. Euler-Jacobi Pseudoprime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Weisstein, Eric W. Frobenius pseudoprime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Jon Grantham. Frobenius pseudoprimes (англ.) // Mathematics of Computation  (англ.) : journal. — 2001. — Vol. 70, no. 234. — P. 873—891. — doi:10.1090/S0025-5718-00-01197-2.

СсылкиПравить