Псевдосфера

Псевдосфера

Псевдосфе́ра (поверхность Бельтра́ми) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

ИсторияПравить

Впервые исследована Миндингом в 1839—1840 годах. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами. Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского, наряду с проективной моделью и конформно-евклидовой моделью.

ХарактеристикиПравить

 
Псевдосфера

Если трактрису задать в плоскости Oxz параметрическими уравнениями

 ,
 ,
 ,

то параметрическими уравнениями псевдосферы будут

 ,
 ,
 ,
 .

Первая квадратичная форма:

 

Вторая квадратичная форма:

 

Гауссова кривизна псевдосферы постоянна, отрицательна и равна −1/.

Площадь обоих раструбов псевдосферы совпадает с площадью сферы ( ), объём — половина от объёма шара ( ).

Вариации и обобщенияПравить

Поверхность Дини — похожий пример поверхности постоянной отрицательной кривизны. Она даёт изометрическое погружение области плоскости Лобачевского ограниченной орициклом.

ИсточникиПравить

ЛитератураПравить

  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, М., 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5.
  • Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, М., 2007. ISBN 978-5-484-00871-1.
  • Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, М., 2000.
  • Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны, — Наука, М., 1982.