Открыть главное меню

Пятиугольник — многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы.

Площадь пятиугольника без самопересеченийПравить

Площадь пятиугольника без самопересечений, заданного координатами вершин, определяется по общей для многоугольников формуле.

Выпуклый пятиугольникПравить

Выпуклым пятиугольником называется пятиугольник, такой, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°.

 

Любые 9 точек в общем положении содержат вершины выпуклого пятиугольника, и существует множество из 8 точек в общем положении, в котором нет выпуклого пятиугольника[1]. Доказано также, что любые 10 точек на плоскости в общем положении содержат выпуклый пустой пятиугольник, и существует множество из 9 точек в общем положении, в котором нет выпуклого пустого пятиугольника[2].

Правильный пятиугольникПравить

Основная статья: Правильный пятиугольник

Пентагоном или правильным пятиугольником называется пятиугольник, у которого все стороны и углы равны. Если провести в пентагоне диагонали, то он разобьётся на[3]:

  • меньший пентагон (образуеся точками пересечения диагоналей) — в центре
  • Вокруг меньшего пентагона — пять равнобедренных треугольников двух видов (с отношением бедра к основанию, равным золотой пропорции):
    • 1) имеют острые углы в 36° при вершине и острые углы в 72° при основании
    • 2) имеют тупой угол в 108° при вершине и острые углы в 36° при основании

При соединении двух первых и двух вторых треугольников их основаниями получатся два «золотых» ромба (первый имеет острый угол в 36° и тупой угол в 144°). Роджер Пенроуз использовал «золотые» ромбы для конструирования «золотого» паркета (мозаики Пенроуза).

Звездчатые пятиугольникиПравить

 
Золотые сечения пентаграммы
Основная статья: Пентаграмма

Многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника называется звёздчатым. Помимо правильного существует ещё один звёздчатый пятиугольник — пентаграмма.

Пентаграмма, как полагал Пифагор, представляет собой математическое совершенство, поскольку демонстрирует золотое сечение (φ = (1+√5)/2 = 1,618…). Если разделить длину любого цветного отрезка на длину самого длинного из оставшихся меньших отрезков, то будет получено золотое сечение φ.

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Kalbfleisch, J.D.; Kalbfleisch, J.G. & Stanton, R.G. (1970), "A combinatorial problem on convex regions", Proc. Louisiana Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing, vol. 1, Congressus Numerantium, Baton Rouge, La.: Louisiana State Univ., с. 180–188 
  2. Harborth, Heiko (1978), "Konvexe Fünfecke in ebenen Punktmengen", Elem. Math. Т. 33 (5): 116–118 
  3. Плитки Пенроуза