Равностепенная непрерывность

Равностепенная непрерывность — свойство семейства непрерывных функций, заключающееся в том, что всё семейство функций изменяется некоторым контролируемым образом. Применяется, чтобы выбрать равномерно сходящуюся последовательность из некоторого семейства функций: теорема Арцела — Асколи позволяет это сделать для равностепенно непрерывного и равномерно ограниченного семейства на, например, компактном метрическом пространстве.

ОпределениеПравить

Точное определение равностепенной непрерывности зависит от контекста. В простейшем варианте пусть   — семейство вещественнозначных непрерывных функций на отрезке  , а   — некоторое его подсемейство. Это подсемейство называется равностепенно непрерывным, если для любого   существует такое  , что для любой функции   и любых точек   из условия   следует условие  . Как видно, условие равностепенной непрерывности семейства функций отличается от условия равномерной непрерывности всех функции по отдельности перенесением фрагмента «для любой  » под пару кванторов на эпсилон и дельту.

Это определение можно дословно обобщить на случай компактных метрических пространств   и   и подсемейства   семейства непрерывных отображений из   в  : подсемейство   называется равностепенно непрерывным, если для любого   существует такое  , что для любой функции   и любых точек   из условия   следует условие  .

Путём замены  - -формализма на формализм открытых подмножеств получается более общее определение для топологических пространств   и   и подсемейства   семейства непрерывных отображений из   в  : подсемейство   называется равностепенно непрерывным в точке   и точке  , если для любой окрестности   существует такая окрестность  , что любая функция   переводит   в  . Отображение называется равностепенно непрерывным, если условие выше выполнено для всех пар  . Если   и   — топологические векторные пространства, а отображения между ними не только непрерывны, но и линейны, то достаточно проверять это условие в паре точек  .

Теорема Арцела — АсколиПравить

Теорема Арцела — Асколи утверждает, что для компактных метрических пространств равностепенная непрерывность   равносильна относительной компактности      , снабжённом метрикой

 .

ЛитератураПравить

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
  • Эдвардс Р., Функциональный анализ, пер. с англ., IT., 1969.