Равносторонний многоугольник

Равносторонний треугольник, всегда является правильным треугольником
Равносторонний четырёхугольник (ромб)

Равносторонний многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны. Например, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны одинаковы; все равносторонние треугольники подобны и имеют внутренние углы[en] 60 градусов. Равносторонний четырёхугольник — это ромб, и квадрат является частным случаем ромба.

СвойстваПравить

Равносторонний многоугольник, который также и равноуголен является правильным многоугольником.

Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность (его вершины лежат на окружности) является правильным многоугольником (то есть многоугольником, одновременно и равносторонним, и равноугольным).

Описанный многоугольник (у которого существует окружность, касающаяся всех его сторон) является равносторонним в том и только в том случае, когда углы через один равны (то есть, при последовательной нумерации углов углы с номерами 1, 3, 5, … равны и углы 2, 4, … равны). Таким образом, если   — нечётно, описанный многоугольник является равносторонним в том и только в том случае, когда он правильный[1].

Все равносторонние четырёхугольники выпуклы[en], но существуют вогнутые[en] равносторонние пятиугольники, как и выпуклые равносторонние многоугольники с большим числом сторон.

Каждая главная диагональ шестиугольника делит его на четырёхугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике с общей стороной   существует[2] главная диагональ  , такая что:

 ,

и главная диагональ  , такая, что:

 .

Существует конечная последовательность элементарных отражений, переводящих любой равносторонний многоугольник в правильный[3][4].

Теорема ВивианиПравить

Теорема Вивиани в части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до каждой из сторон обобщается для равносторонних многоугольников[5]. Действительно, представив стороны многоугольника в виде векторов  , притом выбрав направления так, чтобы конец одного вектора был началом другого, сумма этих векторов равна нулю, а следовательно:

 ,  .

Без умаления общности можно считать, что все длины векторов равны 1. Повернув все векторы на 90° в одном направлении, получатся векторы  , и все они будут нормалями к сторонам. Уравнение прямой, проходящей через сторону   будет задаваться уравнением  . Поскольку длина вектора равна единице, расстояние до прямой от любой точки   плоскости будет равно   (расстояние может быть отрицательным — зависит от того, в какой полуплоскости лежит точка), а сумма расстояний равна  , то есть, не зависит от положения точки.

Площадь и периметр равносторонних многоугольниковПравить

  • Если   нечётно, то правильный  -угольник единичного диаметра даёт максимальную возможную площадь и периметр[6].
  • Правильный  -угольник является единственным решением в задаче нахождения максимальной площади фигуры единичного диаметра, если   нечётно, но в задаче нахождения максимального периода при   нечётном решение единственно только для простых  .
  • Если   чётно и  , то правильный  -угольник единичного диаметра не даёт ни максимальной площади, ни максимального периметра.
  • Если   имеет нечётный делитель, то любой многоугольник с максимальным периметром является равносторонним.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — March 2011. — Вып. 95. — С. 102-107.
  2. Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum», [1]. p.184,#286.3
  3. Godfried Toussaint. The Erds–Nagy theorem and its ramifications // Computational Geometry. — 2005. — Вып. 31. — С. 219-236.
  4. Kenneth C. Millett. Knotting of regular polygons in 3-space // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 1994. — Т. 3, вып. 3. — С. 263-278.
  5. Elias Abboud. On Viviani’s Theorem and its Extensions // College Mathematics Journal. — March, 2010. — Т. 43 (3).
  6. Michael J. Mossinghoff. An Isodiametric Problem for Equilateral Polygons // Contemporary Mathematics. — 2008. — Т. 457,.

СсылкиПравить