Радикал идеала

В коммутативной алгебре радикал идеала I — это идеал, образованный всеми элементами x такими, что некоторая степень x принадлежит I. Радикальный идеал — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.

ОпределениеПравить

Радикал идеала I в коммутативном кольце R, обозначаемый  , определяется как

 

Интуитивно, для получения радикала идеала нужно взять корни всех возможных степеней из его элементов. Эквивалентное определение радикала идеала I — это прообраз нильрадикала   при отображении факторизации. Это также доказывает, что   является идеалом.

ПримерыПравить

  • В кольце целых чисел радикал главного идеала   — это идеал, порождённый произведением всех простых делителей  .
  • Радикал примарного идеала прост. Обратно, если радикал идеала прост, то этот идеал примарен.
  • В любом коммутативном кольце   для простого идеала  [1]. В частности, каждый простой идеал радикален.

СвойстваПравить

  •  . Более того,   — это наименьший радикальный идеал, содержащий I.
  •   — это пересечение всех простых идеалов, содержащих I. В частности, нильрадикал — это пересечение всех простых идеалов.
  • Идеал является радикальным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему не содержит нетривиальных нильпотентов.

ПриложенияПравить

Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой теореме Гильберта о нулях из коммутативной алгебры. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого алгебраически замкнутого поля   и любого конечнопорождённого идеала в кольце многочленов от   переменных над полем   верно следующее равенство:

 

где

 

и

 

ПримечанияПравить

  1. Атья и Макдональд, 2003, Предложение 4.2.

ЛитератураПравить