Вписанная окружность

Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.

В многоугольнике

• Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

• Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади $S$ к его полупериметру $p$:

$r={\frac {S}{p}}$

В треугольнике

Основная статья: Вписанная в треугольник окружность

Окружность, вписанная в треугольник со сторонами a, b, c.

Свойства вписанной окружности:

• В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
• Центр $I$ вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
• Радиус $r$ вписанной в треугольник окружности равен:

$r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};$

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}$

где $a,b,c$ — стороны треугольника, $h_{a},h_{b},h_{c}$ — высоты, проведённые к соответствующим сторонам;

$r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}$

Формула Эйлера

где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

$r={\frac {p-a}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {p-b}{\operatorname {ctg} (\beta /2)}}={\frac {p-c}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}$, $p$ — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).

• Если $AB$ — основание равнобедренного треугольника $\triangle ABC$, то окружность, касающаяся сторон угла $\angle ACB$ в точках $A$ и $B$, проходит через центр вписанной окружности треугольника $\triangle ABC$.
• Теорема Эйлера: $R^{2}-2Rr=|OI|^{2}$, где $R$ — радиус описанной вокруг треугольника окружности, $r$ — радиус вписанной в него окружности, $O$ — центр описанной окружности, $I$ — центр вписанной окружности.

$|OI|^{2}={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]$

• Если прямая, проходящая через точку $I$ параллельно стороне $AB$, пересекает стороны $BC$ и $CA$ в точках $A_{1}$ и $B_{1}$, то $A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}$.
• Если точки касания вписанной в треугольник $T$ окружности соединить отрезками с его сторонами, то получится треугольник $T_{1}$ со свойствами:
  • Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T₁
  • Пусть T₂ — ортотреугольник T₁. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
  • Пусть T₃ — серединный треугольник T₁. Тогда биссектрисы T являются высотами T₃.
  • Пусть T₄ — ортотреугольник T₃, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T₄.
• Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен ${\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}$.
• Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно $d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c$.
• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно $l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}$, где $r$ — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C.
• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам $l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}$ и $l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}$
• Теорема о трезубце или теорема трилистника: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$.

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. Лемма Веррьера: Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и окружности Веррьера (полувписанной окружности)

• Лемма Веррьера: пусть окружность $V$ касается сторон $AB$, $AC$ и дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда точки касания окружности $V$ со сторонами и центр вписанной окружности треугольника $ABC$ лежат на одной прямой.

• Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности. Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Связь вписанной и описанной окружностей

• Формула Эйлера: Если $d$ — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны $r$ и $R$ соответственно, то $d^{2}=R^{2}-2Rr$.
• Формулы для отношения и произведения радиусов:

${\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;$

$2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}$,

${\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1$

где $p$ — полупериметр треугольника, $S$ — его площадь.

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности.

• Для треугольника можно построить полувписанную окружность, или окружность Варьера. Это окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке. Эта точка служит центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей описанную окружность во вписанную.
• Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и полувписанной окружности.

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R

Связь центра вписанной окружности и середин высот треугольника

• Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой..
• Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.

В четырёхугольнике

• Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.
• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
• Иными словами, в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: $AB+CD=BC+AD$.

Теорема Ньютона (планиметрия) и прямая Ньютона

• Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Ньютона. На рисунке она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
• Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В сферическом треугольнике

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

• Тангенс радиуса вписанной в сферический треугольник окружности равен

$\operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(p-a)\sin(p-b)\sin(p-c)}{\sin p}}}$

• Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника.

Обобщения

• Вписанной сферой называется сфера, касающаяся всех граней многогранника.
• Эллипс Штейнера — вписанный в треугольник эллипс.

См. также

• Вневписанная окружность
• Внеописанный четырёхугольник
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Вписанные и описанные фигуры для треугольника
• Замечательные прямые треугольника
• Замечательные точки треугольника
• Вписанное коническое сечение
• Описанная окружность
• Описанный четырёхугольник
• Ортоцентр
• Степень точки относительно окружности
• Теорема Мансиона
• Теорема о трезубце
• Теорема Тебо 2 и 3
• Теорема Фейербаха
• Теорема Харкорта
• Точки Аполлония
• Треугольник
• Центроид
• Центроид треугольника

Литература

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0.
• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504