Развёртка многогранника

(перенаправлено с «Развёртка»)

Развёртка многогранника — совокупность многоугольников, соответственно равных граням многогранника, с указанием того, какие стороны и вершины многоугольников соответствуют одним и тем же рёбрам и вершинам многогранника[1]. Модели многогранников часто склеиваются из развёрток или отдельных многоугольников с указанием сторон, которые должны быть склеены[1][2].

Развёртка додекаэдра

Развёртки платоновых тел с «крылышками» для склеивания граней

править

Большие размерности

править

Свойства

править
  • Существуют примеры развёрток, из которых можно склеить различные выпуклые многогранники.
  • Известны примеры невыпуклых многогранников, не допускающих развёрток.[3]
  • Среди тетраэдров можно найти пример, такой что разрезание рёбер по остовному дереву даёт развёртку с самоналеганиями.
  • В 1975 году Шепард[англ.] сформулировал гипотезу, что каждый выпуклый многогранник имеет развёртку без наложений.[4] Эта гипотеза остаётся открытой до сегодняшнего дня.[5][6] Известно следующее:
    • Для невыпуклых многогранников утверждение не верно.
    • Некоторые многогранники, например, неправильные тетраэдры определённого типа, допускают развёртки с самоперекрытиями.
    • Гипотеза верна для многогранников, у которых одна из граней имеет общее ребро со всеми остальными.
    • В 2014 Мохамед Гоми доказал, что такая развёртка найдётся, если применить к многограннику аффинное преобразование определённого типа.[7] В частности, из любого комбинаторного класса выпуклых многогранников можно выбрать многогранник, допускающий развёртку.

См. также

править

Примечания

править
  1. 1 2 ЭЭМ, книга IV, 1963, с. 410.
  2. Веннинджер, 1974.
  3. Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph (2007), "Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra", Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 306—338
  4. Shephard, G. C. (1975), "Convex polytopes with convex nets", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 78 (3): 389—403, doi:10.1017/s0305004100051860, MR 0390915
  5. Weisstein, Eric W. Shephard's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. dmoskovich (June 4, 2012), "Dürer's conjecture", Open Problem Garden Архивная копия от 2 июня 2017 на Wayback Machine
  7. Ghomi, Mohammad (2014), "Affine unfoldings of convex polyhedra", Geom. Topol., 18: 3055—3090, arXiv:1305.3231

Литература

править
  • Энциклопедия элементарной математики / Главная редакция: П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Редакторы книги четвёртой: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. — 1963. — Т. IV.
  • Веннинджер М. Модели многогранников / Пер. с англ. В. В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1974.