Разделённая разность

(перенаправлено с «Разделенная разность»)

Разделённая ра́зность — обобщение понятия производной для дискретного набора точек.

Определение править

Пусть функция   задана на (связном) множестве   и фиксированы попарно различные точки  

Тогда разделённой разностью нулевого порядка функции   в точке   называют значение   а разделённую разность порядка   для системы точек   определяют через разделённые разности порядка   по формуле

 

в частности,

 
 
 

Свойства править

Для разделённой разности верна формула

 

в частности,

 
 

Разделённая разность является симметрической функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется, в частности,

 
 
 

При фиксированной системе точек   разделённая разность является линейным функционалом, то есть для функций   и   и скаляров   и  :

 

Применение править

С помощью разделённых разностей функции   для узлов   можно записать как интерполяционный многочлен Ньютона «вперёд»:

 

так и интерполяционный многочлен Ньютона «назад»:

 

Преимущества:

  • для вычислений разделённых разностей требуется   действий (деления), что меньше, чем в других алгоритмах;
  • вычислять значения интерполяционного многочлена можно по схеме Горнера за   действий (умножения);
  • хранения требуют   узел и   разность, причём разности можно хранить (получить) в тех же ячейках, где были заданы значения   ;
  • по сравнению с интерполяционным многочленом Лагранжа упрощено добавление нового узла.

С использованием

 

первую из формул можно записать в виде

 

С помощью многочлена Ньютона можно также получить следующее представление разделённых разностей в виде отношения определителей:

 

История править

Ньютон использовал в своей общей формуле интерполяции (см. выше) разделённые разности, но термин, по-видимому, был введён О. де Морганом в 1848 году[1].

Пример править

 
Пример для функции  

На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления разделённых разностей для

 

См. также править

Ссылки править

Литература править

Примечания править

  1. Конечные разности. Архивная копия от 12 августа 2010 на Wayback Machine в энциклопедии Кругосвет