Разделённая разность

Разделённая ра́зность — обобщение понятия производной для дискретного набора точек.

ОпределениеПравить

Пусть функция   задана на (связном) множестве   и фиксированы попарно различные точки  

Тогда разделённой разностью нулевого порядка функции   в точке   называют значение   а разделённую разность порядка   для системы точек   определяют через разделённые разности порядка   по формуле

 

в частности,

 
 
 

СвойстваПравить

Для разделённой разности верна формула

 

в частности,

 
 

Разделённая разность является симметрической функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется, в частности,

 
 
 

При фиксированной системе точек   разделённая разность является линейным функционалом, то есть для функций   и   и скаляров   и  :

 

ПрименениеПравить

С помощью разделённых разностей функции   для узлов   можно записать как интерполяционный многочлен Ньютона «вперёд»:

 

так и интерполяционный многочлен Ньютона «назад»:

 

Преимущества:

  • для вычислений разделённых разностей требуется   действий (деления), что меньше, чем в других алгоритмах;
  • вычислять значения интерполяционного многочлена можно по схеме Горнера за   действий (умножения);
  • хранения требуют   узел и   разность, причём разности можно хранить (получить) в тех же ячейках, где были заданы значения   ;
  • по сравнению с интерполяционным многочленом Лагранжа упрощено добавление нового узла.

С использованием

 

первую из формул можно записать в виде

 

С помощью многочлена Ньютона можно также получить следующее представление разделённых разностей в виде отношения определителей:

 

ИсторияПравить

Ньютон использовал в своей общей формуле интерполяции (см. выше) разделённые разности, но термин, по-видимому, был введён О. де Морганом в 1848 году[1].

ПримерПравить

 
Пример для функции  

На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления разделённых разностей для

 

См. такжеПравить

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить