Открыть главное меню

Размерность Лебега

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства обычно обозначается .

ОпределениеПравить

Для метрических пространствПравить

Для компактного метрического пространства   размерность Лебега определяется как наименьшее целое число  , обладающее тем свойством, что при любом   существует конечное открытое  -покрытие  , имеющее кратность  ;

При этом

  •  -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр  , а
  • кратностью конечного покрытия пространства   называется наибольшее такое целое число  , что существует точка пространства  , содержащаяся в   элементах данного покрытия.

Для топологических пространствПравить

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства   размерностью Лебега называется наименьшее целое число   такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства   существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности  .

При этом покрытие   называется вписанным в покрытие  , если каждый элемент покрытия   является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия  .

ПримерыПравить

СвойстваПравить

  • Неравенство
     
выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства   и  :
  • метризуемость
  • компактность
  • локальная компактность и паракомпактность
Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается;[1] это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.
  • Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
  • (Теорема Остранда о крашенной размерности.) Нормальное пространство   имеет размерность   тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия   пространства   существует вписанное покрытие  , которое состоит из   подсемейств   таких, что каждое подсемейство   состоит из непересекающиеся между собой множеств.

ИсторияПравить

Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность  -мерного куба равна  . Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта   (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.

ПримечанияПравить

  1. Wage, Michael L. The dimension of product spaces // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.. — 1978. — Т. 75, № 10. — С. 4671–4672.

ЛитератураПравить

  • Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973