Размерность Лебега
Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства обычно обозначается .
Определение
правитьДля метрических пространств
правитьДля компактного метрического пространства размерность Лебега определяется как наименьшее целое число , обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое -покрытие , имеющее кратность ;
При этом
- -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр , а
- кратностью конечного покрытия пространства называется наибольшее такое целое число , что существует точка пространства , содержащаяся в элементах данного покрытия.
Для топологических пространств
правитьДля произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства размерностью Лебега называется наименьшее целое число такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности .
При этом покрытие называется вписанным в покрытие , если каждый элемент покрытия является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия .
Примеры
править- Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
- См. также нульмерное пространство.
- Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
- См. также кривая Урысона
Свойства
править- Неравенство
- выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства и :
- метризуемость,
- компактность,
- локальная компактность и паракомпактность.
- Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается;[1] это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.
- Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
- Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на .
- Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство имеет размерность тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия пространства существует вписанное покрытие , которое состоит из подсемейств таких, что каждое подсемейство состоит из непересекающиеся между собой множеств.
История
правитьВпервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность -мерного куба равна . Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.
Примечания
править- ↑ Wage, Michael L. The dimension of product spaces // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.. — 1978. — Т. 75, № 10. — С. 4671–4672. — doi:10.1073/pnas.75.10.4671.
Литература
править- Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973