Размерность Минковского

У этого термина существуют и другие значения, см. Размерность (значения).

Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна

,

где  — минимальное число множеств диаметра , которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

ПримерыПравить

  • размерность конечного множества равна нулю, так как для него   не превосходит количества элементов в нём.
  • размерность отрезка равна 1, так как необходимо   отрезков длины  , чтобы покрыть отрезок длины  . Таким образом,
     ,
  • размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю  , необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной  , ведет себя примерно как  .
  • размерность фрактального множества может быть дробным числом. Так, размерность кривой Коха равна  .
  • размерность Минковского множества   равна 1/2.

СвойстваПравить

  • Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
  • Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
  • Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
  • Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000