Открыть главное меню

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Свойства конечномерных пространствПравить

Всякий элемент   конечномерного пространства   представим единственным образом в виде

 

  где   — поле(часто   или  ), над которым рассматривается пространство  ,   — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.

  • Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
  • Пусть   — конечномерное пространство и   — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
  • Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
  • В любом конечномерном пространстве над полем   можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве   с фиксированным базисом, размерности  , можно ввести скалярное произведение по правилу:
     , где   — компоненты векторов   и   соответственно.
    Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем   можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:
    •  рефлексивное пространство[1].
    • Пространство  , сопряжённое к некоторому конечномерному пространству  , конечномерно и его размерность совпадает с размерностью  .
    • Для любого подпространства   конечномерного пространства   существует подпространство  [2] такое, что   и   разлагается в прямую сумму   и  ,  .
  • В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
  • Все нормы в конечномерном пространстве над полем   эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
  • Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
  • Пространство   над полем   является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор   является вполне непрерывным.
  • Пространство   является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над   обратимый вполне непрерывный оператор.
  • Пространство   является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в   предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство   является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в   множество предкомпактно.
  • Всякий линейный оператор  , определенный в конечномерном пространстве   является непрерывным и даже вполне непрерывным.
  • В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.

ПримерыПравить

 

Более общий случай — пространства   размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов ( ):

  или  

Если ввести норму   и скалярное произведение   то пространство будет евклидовым.

  •   — пространство всех многочленов степени не выше  . Размерность этого пространства  . Многочлены   образуют в нём базис.
  • Пусть   — произвольное линейное пространство и пусть   некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Это факт можно получить как при помощи теоремы Рисса-Фреше, так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.
  2.   часто называют ортогональным дополнением к  

ЛитератураПравить