Открыть главное меню
Venn A setminus B.svg

Разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств и обозначается как , но иногда можно встретить обозначение и .

Пусть и  — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

Это множество часто называют дополнением множества до множества . (только когда множество В полностью принадлежит множеству А)

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, . Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством и его относительное дополнение , при обозначении которого часто опускается значок универсума: [источник не указан 1085 дней]; при этом говорится, что  — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что , то есть дополнение множества до множества есть пересечение множества и дополнения множества .

Также применяется и операторная запись вида , или (если опустить универсальное множество) .

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению ко входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.

Содержание

ПримерыПравить

  • Пусть  . Тогда  
  • Пусть   — множество всех вещественных чисел,   — множество рациональных чисел, а   — множество целых чисел. Тогда   — множество всех иррациональных чисел, а   — дробных.

СвойстваПравить

Пусть   — произвольные множества.

 
  • Свойства пустого множества относительно разности:
 
 
  • Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:
 
  •  . Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (то есть объединению).
  •  
  • Разность не пересекается с вычитаемым:
 
  • Разность множеств равна пустому множеству тогда и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:
 
 
 
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  , если  .
  • Если   и  , то  
  • Если  , то для любого   выполняется  . Это соотношение имеет свой аналог в арифметике: если  , то для любого   справедливо  .

Компьютерные реализацииПравить

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором «−», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.

Дополнение множестваПравить

ОпределениеПравить

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума  , то определяется операция дополнения:

 

СвойстваПравить

  •  
  •  
В частности, если оба   и   непусты, то   является разбиением  .
  •  
  •  
  •  
 
  •  
  •  
  • Законы разности множеств:
  •  
  •  

КодировкаПравить

Графема Название Юникод HTML LaTeX
COMPLEMENT U+2201 ∁ \complement

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2004. — 256 с.
  • Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств / Пер. с англ. М. И. Кратко, под ред. А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 16, 20—22.

ПримечанияПравить

  1. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х.. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.