Разрешимая группа

Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.

Понятие возникло в теории Галуа в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Эквивалентные определения

Разрешимая группа — группа $G$, такая что убывающий ряд

$G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,$

в котором каждая следующая группа является коммутантом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.

Можно доказать, что если $H$ — нормальная подгруппа в $G$, $H$ разрешима и факторгруппа $G/H$ разрешима, то $G$ разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:

Разрешимая группа — это группа, для которой существует хотя бы один субнормальный ряд, в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп $\{1\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant \cdots \leqslant G_{k}=G$, такая что $G_{j-1}$ является нормальной подгруппой $G_{j}$, и $G_{j}/G_{j-1}$ — абелева группа.

Свойства

• Разрешимость конечной группы эквивалентна существованию субнормального ряда, в котором все промежуточные факторы циклические конечного порядка. Последнее следует из теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп.
• Если две группы разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение) разрешимо.
• Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешима.
• Согласно теореме Бёрнсайда, любая группа, порядок которой делится менее чем на три различных простых числа, разрешима.
• Согласно теореме Файта — Томпсона, конечная группа нечётного порядка разрешима.

Примеры

• Все абелевы группы и все нильпотентные группы разрешимы.
• Симметрическая группа $S_{n}$ является разрешимой тогда и только тогда, когда $n\leqslant 4$.
• Группа невырожденных верхних треугольных матриц $\mathbf {UT} _{n}$ разрешима.
• Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
• Все группы порядка, меньшего чем 60, разрешимы. Неразрешимая группа наименьшего порядка — это знакопеременная группа $A_{5}$ порядка 60.

Литература

• Rotman, Joseph J. An introduction to the theory of groups. — 4th ed. — Springer, 1995. — Т. 148. — (Graduate texts in mathematics). — ISBN 978-0-387-94285-8.
• Мальцев А. И. Обобщённо нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Математический сборник . — 1949. — Т. 25, №  3. — С. 347—366.

Ссылки

• Порядки неразрешимых групп — последовательность A056866 в OEIS