Открыть главное меню

Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.

Понятие возникло в теории Галуа в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Эквивалентные определенияПравить

Разрешимая группа — группа  , такая что убывающий ряд

 

в котором каждая следующая группа является коммутантом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.

Можно доказать, что если   — нормальная подгруппа в  ,   разрешима и факторгруппа   разрешима, то   разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:

Разрешимая группа — это группа, для которой существует хотя бы один субнормальный ряд, в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп  , такая что   является нормальной подгруппой  , и   — абелева группа.

СвойстваПравить

ПримерыПравить

  • Все абелевы группы и все нильпотентные группы разрешимы.
  • Симметрическая группа   является разрешимой тогда и только тогда, когда  .
  • Группа невырожденных верхних треугольных матриц   разрешима.
  • Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
  • Все группы порядка, меньшего чем 60, разрешимы. Неразрешимая группа наименьшего порядка — это знакопеременная группа   порядка 60.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

  • Порядки неразрешимых групп — последовательность A056866 в OEIS