Распределение Бернулли

Распределе́ние Берну́лли в теории вероятностей и математической статистикедискретное распределение вероятностей, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы, при заранее известной вероятности успеха или неудачи.

Распределение Бернулли
плотность вероятностиФункция вероятности
функния распределенияФункция распределения
Параметры
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

ОпределениеПравить

Случайная величина   имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения:   и   с вероятностями   и   соответственно. Таким образом:

 ,
 .

Принято говорить, что событие   соответствует «успеху», а событие   — «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

СвойстваПравить

Предельное свойствоПравить

Предельное свойство описывается теоремой Пуассона:

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где   — вероятность «успеха»,   — количество «успехов».

Тогда если

  1.  
  2.  
  3.  
то  

Моменты распределения БернуллиПравить

 ,
 , так как:  .

Вообще, легко видеть, что

 .

ЗамечаниеПравить

Если независимые случайные величины  , имеют распределение Бернулли с вероятностью успеха  , то

 

имеет биномиальное распределение с   степенями свободы.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binomial distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4