Распределение Лапласа

Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть

Распределение Лапласа
Плотности распределений ЛапласаПлотность вероятности
Функции распределений ЛапласаФункция распределения
Параметры  — коэффициент масштаба
 — коэффициент сдвига
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов ?
Характеристическая функция

где — параметр масштаба, — параметр сдвига.

Функция распределенияПравить

По определению, функция распределения — это интеграл от плотности распределения:

 

Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая:

 

Проверка свойств полученной функции:

  1.   не убывает, так как   положительна.
  2.  , следовательно,   непрерывна в точке  
  3.   ограничена.
  4. Пределы на бесконечностях:
 
 

Математическое ожидание и дисперсияПравить

В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал   при вычислениях необходимо разбить на   и  . Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей ( ) рассматриваются пределы вида  . В результате

 
 
 

МоментыПравить

 ,

где   — целая часть s.

Характеристическая функцияПравить

 

Применение   Править

Распределение применяется для моделирования обработки сигналов, в моделировании биологических процессов, экономике и финансах. Распределение можно применить: