Открыть главное меню

Распределе́ние Пуассо́на — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона
Poisson distribution PMF.png Функция вероятности
Poisson distribution CMF.png Функция распределения
Обозначение
Параметры
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

ОпределениеПравить

Выберем фиксированное число   и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

 ,

где

  •   — математическое ожидание случайной величины (среднее количество событий за фиксированный промежуток времени),
  •   обозначает факториал числа  ,
  •   — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина   имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием  , записывается:  .

МоментыПравить

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

 ,

откуда

 ,
 .

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:

 ,

где  

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения ПуассонаПравить

  • Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть  . Тогда
 .
  • Пусть  , и  . Тогда условное распределение   при условии, что  , биномиально. Более точно:
 .
  • C увеличением   распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса со среднеквадратичным отклонением   и сдвигом  . Чтобы доказать это, нужно применить формулу Стирлинга для факториала, а затем воспользоваться разложением в ряд Тейлора   в окрестности   и тем, что в пределах пика распределения  . Тогда получается
 

Асимптотическое стремление к распределениюПравить

Довольно часто в теории вероятности рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин  , принимающих целочисленные значения, такую что для всякого   выполнено   при  .

Простейшим примером является случай, когда   имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха   в каждом из   испытаний.

Обратная связь с факториальными моментамиПравить

Рассмотрим последовательность случайных величин   принимающих целые неотрицательные значения. Если   при   и любом фиксированном   (где   факториальный момент), то для всякого   при   выполнено  .

Как пример нетривиального следствия этой теоремы можно привести, например, асимптотическое стремление к   распределения количества изолированных рёбер (двухвершинных компонент связности) в случайном  -вершинном графе, где каждое из рёбер включается в граф с вероятностью  .[1]

ИсторияПравить

Работа Симеона Дени Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах»[2], в которой было введено данное распределение, была опубликована в 1837 году[3]. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счетчика радиоактивного излучения, количество забиваемых футбольной командой голов и др.[4]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить