Распределение вероятностей

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и соответствующие вероятности появления этих значений.

ОпределениеПравить

Пусть задано вероятностное пространство  , и на нём определена случайная величина  . В частности, по определению,   является измеримым отображением измеримого пространства   в измеримое пространство  , где   обозначает борелевскую сигма-алгебру на  . Тогда случайная величина   индуцирует вероятностную меру   на   следующим образом:

 

Мера   называется распределением случайной величины  . Иными словами,  , таким образом   задаёт вероятность того, что случайная величина   попадает во множество  .

Классификация распределенийПравить

Функция   называется (кумулятивной) функцией распределения случайной величины  . Из свойств вероятности вытекает теорема:

Функция распределения   любой случайной величины удовлетворяет следующим трем свойствам:

  1.   — функция неубывающая;
  2.  ;
  3.   непрерывна справа.

Из того факта, что борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой порождается семейством интервалов вида  , вытекает теорема:

Любая функция  , удовлетворяющая трём свойствам, перечисленным выше, является функцией распределения для какого-то распределения  .

Для вероятностных распределений, обладающих определенными свойствами, существуют более удобные способы их задания. В то же время распределения (и случайные величины) принято классифицировать по характеру функций распределения[1].

Дискретные распределенияПравить

Случайная величина   называется простой или дискретной, если она принимает не более, чем счётное число значений. То есть  , где   — разбиение  .

Распределение простой случайной величины тогда по определению задаётся:  . Введя обозначение  , можно задать функцию  . В силу свойств вероятности  . Используя счётную аддитивность  , легко показать, что эта функция однозначно определяет распределение  .

Набор вероятностей  , где   называется распределением вероятностей дискретной случайной величины  . Совокупность значений   и вероятностей   называется дискретным законом распределения вероятностей[2].

Для иллюстрации сказанного выше, рассмотрим следующий пример.

Пусть функция   задана таким образом, что   и  . Эта функция задаёт распределение случайной величины  , для которой   (см. распределение Бернулли, где случайная величина принимает значения  ). Случайная величина   является моделью подбрасывания уравновешенной монеты.

Другими примерами дискретных случайных величин являются распределение Пуассона, биномиальное распределение, геометрическое распределение.

Дискретное распределение обладает следующими свойствами:

  1.  ,
  2.  , если множество значений - конечное — из свойств вероятности,
  3. Функция распределения   имеет конечное или счётное множество точек разрыва первого рода,
  4. Если   - точка непрерывности  , то существует  .

Решётчатые распределенияПравить

Решётчатым называется распределение с дискретной функцией распределения и точки разрыва функции распределения образуют подмножество точек вида  , где   - вещественное,  ,   - целое[3].

Теорема. Для того, чтобы функция распределения   была решётчатой с шагом  , необходимо и достаточно, чтобы её характеристическая функция   удовлетворяла соотношению  [3].

Абсолютно непрерывные распределенияПравить

Основная статья: Плотность вероятности

Распределение случайной величины   называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная функция  , такая что  . Функция   тогда называется плотностью распределения вероятностей случайной величины  . Функция таких распределений абсолютно непрерывна в смысле Лебега.

Примерами абсолютно непрерывных распределений являются нормальное распределение, равномерное распределение, экспоненциальное распределение, распределение Коши.

Пример. Пусть  , когда  , и   в противном случае. Тогда  , если  .

Для любой плотности распределения   верны свойства:

  1.  ;
  2.  .

Верно и обратное — если функция   такая, что:

  1.  ;
  2.  ,

то существует распределение   такое, что   является его плотностью.

Применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к следующим соотношениям между функцией и плотностью абсолютно непрерывного распределения:

 .

Теорема. Если   — непрерывная плотность распределения, а   — его функция распределения, то

  1.  
  2.  .

При построении распределения по эмпирическим (опытным) данным следует избегать ошибок округления.

Сингулярные распределенияПравить

Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют величины, не являющиеся ни на одном интервале ни дискретными, ни непрерывными. К таким случайным величинам относятся, например, те, функции распределения которых непрерывные, но возрастают только на множестве лебеговой меры нуль[4].

Сингулярными называют распределения, сосредоточенные на множестве нулевой меры (обычно меры Лебега).

Таблица основных распределенийПравить

Дискретные распределения
Название Обозначение Параметр Носитель Плотность (последовательность вероятностей) Матем. ожидание Дисперсия Характеристическая функция
Дискретное равномерное              
Бернулли              
Биномиальное              
Пуассоновское              
Геометрическое              
Абсолютно непрерывные распределения
Название Обозначение Параметр Носитель Плотность (последовательность вероятностей) Матем. ожидание Дисперсия Характеристическая функция
Равномерное непрерывное              
Нормальное (гауссовское)              
Гамма-распределение              
Экспоненциальное              
Коши         Нет Нет  
Бета-распределение            
Парето          , если    , если  
Многомерные распределения
Название Обозначение Параметр Носитель Плотность (последовательность вероятностей) Матем. ожидание Дисперсия Характеристическая функция
Гауссовское     - симм. и неотр. опр.          


ПримечанияПравить

  1. Маталыцкий, Хацкевич. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, 2012. - С.69
  2. Маталыцкий, Хацкевич. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, 2012. - С.68
  3. 1 2 Рамачандран, 1975, с. 38.
  4. Маталыцкий, Хацкевич. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы, 2012. — С.76

ЛитератураПравить

См. такжеПравить