Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

Расслоение Хопфа графически представлено как обобщенная стереографическая проекция на . Рисунок показывает одинаковым цветом точки на (справа) и соответствующие им слои-окружности на стереографической проекции (слева).
.

Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы как единичной сферы в , а двумерной сферы как комплексной проективной прямой . Тогда отображение:

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы :

,

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

.

ОбобщенияПравить

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера   расслаивается со слоем-окружностью над  . Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.

Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

    (вещественная),
    (комплексная — собственно расслоение Хопфа),
    (кватернионная),
    (октавная).

Такие расслоения сферы  , для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях  . Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в   без делителей нуля может быть определено только при  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

СсылкиПравить