Открыть главное меню

Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа графически представлено как обобщенная стереографическая проекция на . Рисунок показывает одинаковым цветом точки на (справа) и соответствующие им слои-окружности на стереографической проекции (слева).

Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

.

Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы как единичной сферы в , а двумерной сферы как комплексной проективной прямой . Тогда отображение:

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы :

,

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

.

ОбобщенияПравить

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера   расслаивается со слоем-окружностью над  . Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.

Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

    (вещественная),
    (комплексная — собственно расслоение Хопфа),
    (кватернионная),
    (октавная).

Такие расслоения сферы  , для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях  . Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в   без делителей нуля может быть определено только при  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Р.Пенроуз, В.Риндлер. Спиноры и пространство-время, спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени. — Москва «Мир», 1988. — P. 78. Архивная копия от 3 октября 2015 на Wayback Machine
  2. Д.Н. Клышко. Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах (рус.) // УФН : журнал. — 1993. — Т. 163, № 11. — С. 1.

СсылкиПравить