Расслоение на окружности — это расслоение, в котором слоями являются окружности .

Ориентированные расслоения на окружности известны также как главные U(1)-расслоения. В физике расслоения на окружности являются естественными геометрическими установками для электромагнетизма. Расслоение на окружности является частным случаем расслоений на сферы[англ.].

Как 3-многообразия

править

Расслоение на окружности поверхностей является важным примером 3-многообразий[англ.]. Более общим классом 3-многообразий являются расслоения Зейферта, которые можно рассматривать как вид «вырожденных» расслоений на окружности или как расслоение на окружности двумерных орбиобразий.

Отношение к электродинамике

править

Уравнения Максвелла соответствует электромагнитному полю, представленному 2-формой F с   гомологически эквивалентным[англ.] нулю. В частности, всегда существует ковариантный вектор A, электромагнитный потенциал, (эквивалентно, аффинная связность), такой, что

 

Если дано расслоение на окружности P многообразия M и его проекция

 ,

имеем гомоморфизм

 ,

где   является обратным образом. Каждый гомоморфизм соответствует монополю Дирака. Целые группы когомологий соответствуют квантованию электрического заряда. Эффект Ааронова — Бома можно понимать как голономию связи на ассоциированном линейном расслоении, описывающую волновую функцию электрона. В сущности, эффект Ааронова — Бома не является квантово-механическим эффектом (вопреки популярному представлению), так как здесь не вовлекается и не требуется никакого квантования при построении расслоения.

Примеры

править
  • Расслоение Хопфа является примером нетривиального расслоения на окружности.
  • Сферическое нормальное расслоение поверхности является другим примером расслоения на окружности.
  • Сферическое нормальное расслоение неориентируемой поверхности является расслоением на окружности, которое не является главным расслоением  . Только ориентируемые поверхности имеют главные сферические касательные расслоения.
  • Другим методом для построения расслоения на окружности является использование комплексного линейного расслоения   и взятие ассоциированного расслоения на сферы (в данном случае — на окружности). Поскольку это расслоение имеет индуцированную ориентацию из  , получаем, что оно является главным расслоением  [1]. Более того, характеристические классы из теории Чженя — Вейля расслоений   согласуются с характеристическими классами  .
  • Например, рассмотрим аналитификацию   комплексной плоской кривой
 

Поскольку   и характеристические классы отображаются обратно нетривиально, мы получаем, что линейное расслоение, ассоциированное с пучком  , имеет класс Чженя  .

Классификация

править

Классы изоморфности главных расслоений   многообразия M находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами[англ.] отображений  , где   называется классифицирующим пространством для U(1)[англ.]. Заметим, что   является бесконечномерным комплексным проективным пространством[англ.], и что оно является примером пространства Эйленберга-Маклейна[англ.]  . Такие расслоения классифицируются элементами второй целочисленной группы когомологий   многообразия M, поскольку

 .

Этот изоморфизм реализуется классом Эйлера[англ.]. Эквивалентно, он является первым классом Чженя гладкого комплексного линейного расслоения[англ.] (в основном потому, что окружность гомотопически эквивалентна  , комплексной плоскости с удалённым началом координат. А тогда комплексное линейное расслоение с удалённой нулевой секцией гомотопически эквивалентно расслоению на окружности)

Расслоение на окружности является главным расслоением   тогда и только тогда, когда ассоциированное отображение   гомотопно нулю, что верно тогда и только тогда, когда расслоение является послойно ориентированными. Для более общего случая, когда расслоение на окружности многообразия M не может быть ориентированным, классы изоморфизмов находятся во взаимнооднозначном соответствии с гомотопическими классами отображений  . Это следует из расширения групп  , где  .

Комплексы Делиня

править

Вышеприведённая классификация применима только к расслоениям на окружности в общем случае. Соответствующая классификация для гладких расслоений на окружности, или, скажем, расслоение на окружности с аффинной связностью требует более сложную теорию когомологий. Так, гладкие расслоения на окружности классифицируются второй когомологией Делиня  , расслоения на окружности с аффинной связностью классифицируются посредством  , в то время как   классифицирует линейные расслоения на снопы[англ.].

См. также

править

Примечания

править
  1. Is every orientable circle bundle principal? Дата обращения: 14 августа 2018. Архивировано 25 августа 2017 года.

Литература

править
  • Shiing-shen Chern. Circle bundles // Lecture Notes in Mathematics. — Springer Berlin/Heidelberg, 1977. — Т. 597/1977. — С. 114–131. — ISBN 978-3-540-08345-0..