Расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстояние от точки до прямой на плоскости — это кратчайшее расстояние от точки до прямой в евклидовой геометрии. Расстояние равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой. Формула вычисления расстояния может быть получена и выражена несколькими способами.

Знание наименьшего расстояния от точки до прямой может быть полезно во многих случаях, например, для поиска кратчайшего пути для выхода на дорогу, определение разброса графа, и подобное. В регрессии Деминга, процедуре линейного сглаживания, если зависимые и независимые переменные имеют одну и ту же дисперсию, регрессия сводится к ортогональной регрессии, в которой степень приближения измеряется для каждой точки как расстояние от точки до регрессионной прямой.

Декартова система координатПравить

Прямая задана уравнениемПравить

Когда прямая на плоскости задана уравнением ax + by + c = 0, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки (x0,y0) равно [1]

 

Точка на прямой, наиболее близкая к (x0,y0), имеет координаты [2]

  и  

Горизонтальные и вертикальные прямые

В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a и b не могут быть одновременно равны нулю пока c ненулевое, а в случае всех нулевых коэффициентов уравнение не задаёт прямую. Если a = 0, а b  0, прямая горизонтальна и имеет уравнение y = -c/b. Расстояние от (x0, y0) до этой прямой определяется вертикальным отрезком длины |y0 — (-c/b)| = |by0 + c| / |b| (согласно формуле). Аналогичным образом, для вертикальных прямых (b = 0) расстояние между той же точкой и прямой равно |ax0 + c| / |a| и измеряется вдоль горизонтального отрезка.

Нормированное уравнение прямой

Нормированное уравнение прямой — это уравнение вида

 

Нормированное уравнение получается из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 делением всех членов на  . Тогда расстояние от точки (x0, y0) до прямой равно абсолютному значению отклонения и вычисляется по формуле [3][4]

 

Прямая задана двумя точкамиПравить

Если прямая проходит через две точки P1=(x1,y1) и P2=(x2,y2), то расстояние от (x0,y0) до прямой равно:

 

Знаменатель этого выражения равен расстоянию между точками P1 и P2. Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами (x0,y0), P1 и P2 (см. Общая формула площади треугольника в декартовых координатах). Выражение эквивалентно  , что может быть получено преобразованием стандартной формулы площади треугольника:  , где b — длина стороны, а h — высота на эту сторону из противолежащей вершины.

ДоказательстваПравить

Алгебраическое доказательствоПравить

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. То есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении не равны нулю.

Прямая с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон -a/b, так что любая прямая, перпендикулярная к заданной, имеет наклон b/a. Пусть (m, n) — точка пересечения прямой ax + by + c = 0 и перпендикулярной прямой, проходящей через точку (x0, y0). Прямая, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной прямой, так что

 

Таким образом,   и после возведения в квадрат получим:

 

Рассмотрим,

 

Здесь использовано возведённое в квадрат выражение. Но

 ,

так как точка (m, n) расположена на прямой ax + by + c = 0. Таким образом,

 

Из этого получаем длину отрезка между этими двумя точками:

  [5].

Геометрическое доказательствоПравить

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Баллантин и Джерберт[6] не упомянули это ограничение в своей статье.

Опустим перпендикуляр из точки P с координатами (x0, y0) на прямую с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначим основание перпендикуляра буквой R. Проведём вертикальную прямую через P и обозначим пересечение этой вертикальной прямой с исходной прямой буквой S. В произвольной точке T на прямой нарисуем прямоугольный треугольник TVU, катеты которого являются горизонтальными и вертикальными отрезками, а длина горизонтального отрезка равна |B| (см. рисунок). Вертикальный катет треугольника ∆TVU будет иметь длину |A|, поскольку наклон прямой равен -A/B.

Треугольники ∆SRP и ∆UVT подобны, так как они оба прямоугольные и ∠PSR ≅ ∠VUT, поскольку являются соответственными углами двух параллельных прямых PS и UV (вертикальные прямые) и секущей (исходная прямая)[7]. Выпишем отношения сторон этих треугольников:

 

Если точка S имеет координаты (x0,m), то |PS| = |y0 — m| и расстояние от P до прямой равно:

 

Поскольку S находится на прямой, мы можем найти значение m,

 

и получаем: [6]

 

Другой вариант этого доказательства — поместить точку V в точку P и вычислить площадь треугольника ∆UVT двумя способами, после чего получим  , где D — высота треугольника ∆UVT на гипотенузу из точки P. Формула расстояния может быть использована, чтобы выразить  ,   и  в терминах координат P и коэффициентов уравнения исходной прямой, в результате чего получим требуемую формулу.

Доказательство с помощью проекции вектораПравить

Пусть P — точка с координатами (x0, y0) и пусть исходная прямая имеет уравнение ax + by + c = 0. Пусть Q = (x1, y1) — любая точка на прямой и n — вектор (a, b) с началом в точке Q. Вектор n перпендикулярен прямой, и расстояние d от точки P до прямой равно длине ортогональной проекции   на n. Длина этой проекции равна:

 

Теперь

  так что   и  

Тогда

 

Поскольку Q лежит на прямой,  , а тогда [8][9][10]

 

Другие формулыПравить

Можно получить другие выражения для кратчайшего расстояния от точки до прямой. Эти выводы тоже требуют, чтобы прямая не была вертикальной или горизонтальной.

Пусть точка P задана координатами ( ). Пусть прямая задана уравнением  . Уравнение прямой, перпендикулярной исходной прямой и проходящей через точку P, задаётся уравнением  .

Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой для точки P. Тогда:

 

Мы можем решить это уравнение по x,

 

Координату y точки пересечения можно найти, подставив значение x в уравнение исходной прямой,

 

Подставив полученные значения в формулу расстояния  , получим формулу кратчайшего расстояния от точки до прямой:

 

Если заметить, что m = -a/b и k = -c/b для уравнения ax + by + c = 0, после небольших выкладок получим стандартное выражение[2].

Формулировка с помощью векторовПравить

 
Иллюстрация формулировки с помощью векторов.

Запишем прямую в векторном виде:

 ,

где x — вектор, задающий координаты любой точки на прямой, n — единичный вектор в направлении прямой, a — вектор, задающий две координаты точки на прямой, а t — скаляр. То есть для получения точки x на прямой начинаем с точки a на прямой и двигаемся на расстояние t вдоль прямой.

Расстояние от произвольной точки p до прямой задаётся формулой

 

Эта формула геометрически строится следующим образом:   — это вектор из p в точку a на прямой. Тогда   — это длина проекции на прямую, а тогда

 

— это вектор, являющийся проекцией   на прямую. Тогда

 

является компонентой вектора  , перпендикулярной прямой. Следовательно, расстояние от точки до прямой равно норме этого вектора[11]. Эта формула может быть использована и в более высоких размерностях.

Другая формулировка с помощью векторовПравить

Если векторное пространство ортонормально, а прямая (d ) проходит через точку B и имеет вектор направления[en]  , то расстояние от точки A до прямой (d) равно

 ,

где   — векторное произведение векторов   и  , а   — норма вектора  .

ОбобщенияПравить

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Larson, Hostetler, 2007, p. 452.
  2. 1 2 Larson, Hostetler, 2007, p. 522.
  3. Привалов, 1966, с. 67.
  4. Делоне, Райков, 1948, с. 195.
  5. Laudanski, 2014.
  6. 1 2 Ballantine, Jerbert, 1952, с. 242–243.
  7. Если два треугольника окажутся по разные стороны от исходной прямой, эти углы будут накрест лежащими, а потому опять равными.
  8. Anton, 1994, с. 138-9.
  9. Федотов, Карпов, 2005, с. 86.
  10. Моденов, 1967, с. 152.
  11. Sunday, Dan. Lines and Distance of a Point to a Line. // softSurfer. Дата обращения: 6 декабря 2013.
  12. OnlineMSchool

ЛитератураПравить

  • Делоне Б. Н., Райков Д. А. . Аналитическая геометрия. T. 1. — М., Л.: ОГИЗ, 1948. — 456 с.
  • Моденов П. С. . Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1967. — 697 с.
  • Привалов И. И. . Аналитическая геометрия. 13-е изд. — М.: Наука, 1966. — 272 с.
  • Федотов А. Г., Карпов Б. В. . Аналитическая геометрия. — М.: МГИЭМ, 2005. — 158 с. — ISBN 5-94506-116-6.
  • Anton H. . Elementary Linear Algebra. 7th ed. — Somerset: John Wiley & Sons, 1994. — ISBN 0-471-58742-7.
  • Ballantine J. P., Jerbert A. R.  Distance from a Line or Plane to a Point // American Mathematical Monthly. — 1952. — Vol. 59. — P. 242—243. — doi:10.2307/2306514.
  • Larson R., Hostetler R. . Precalculus: A Concise Course. — Boston: Houghton Mifflin, 2007. — xvii + 526 + 102 p. — ISBN 0-618-62719-7.
  • Laudański L. M. . Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units with Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2014. — x + 318 p. — (Intelligent Systems Reference Library, vol. 31). — ISBN 978-3-642-25696-7.

Дополнительная литератураПравить