Расширение поля

Расшире́ние по́ля (реже употребляется термин надполе)  — поле , содержащее данное поле в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.

Базовые определенияПравить

Если   — поле, его подполе — это его подмножество  , замкнутое относительно сложения и умножения, взятия обратного и противоположного элементов и содержащее единицу, на котором введены те же операции, что и в поле  . В этом случае   называется расширением поля  , заданное расширение обычно обозначают   (также используются обозначения   и  ). Любой гомоморфизм полей инъективен, то есть является вложением. Из этого следует, что задание конкретного расширения   эквивалентно заданию гомоморфизма  .

Если задано расширение   и подмножество   поля  , то наименьшее подполе  , содержащее   и  , обозначается   и называется полем, порождённым множеством   над полем  . Расширения, порождённые одним элементом, называются простыми расширениями, а расширения, порождённые конечным множеством — конечно порождёнными расширениями. Элемент, порождающий простое расширение, называется примитивным элементом.

Для любого расширения     является векторным пространством над полем  . В этой ситуации элементы   можно понимать как «векторы», а элементы   — как «скаляры», умножение вектора на скаляр задаётся операцией умножения в поле  . Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается  . Расширение степени 1 называется тривиальным, расширения степени 2 и 3 — квадратичными и кубическими соответственно. Расширение конечной степени называют конечным, в противном случае — бесконечным.

ПримерыПравить

Поле комплексных чисел   является расширением поля действительных чисел  . Это расширение конечно:  , так как   является базисом. В свою очередь, поле действительных чисел является расширением поля рациональных чисел; степень этого расширения равна мощности континуума, поэтому это расширение бесконечно.

Множество   является расширением поля  , которое, очевидно, является простым. Конечные расширения   называются алгебраическими числовыми полями и являются важным объектом изучения алгебраической теории чисел.

Обычная процедура построения расширения данного поля, позволяющая добавить в него корень многочлена   — это взятие факторкольца кольца многочленов по главному идеалу, порожденному  . Например, пусть поле   не содержит корня уравнения  . Следовательно, многочлен   является неприводимым в  , следовательно, идеал   — максимальный, а значит факторкольцо   является полем. Это поле содержит корень уравнения   — образ многочлена   при отображении факторизации. Повторив подобную процедуру несколько раз, можно получить поле разложения данного многочлена, то есть поле, в котором данный многочлен раскладывается на линейные множители.

Алгебраичность и трансцендентностьПравить

Пусть   — расширение поля  . Элемент   называется алгебраическим над  , если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в  . Элементы, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными. Например, для расширения   мнимая единица является алгебраическим числом, так как удовлетворяет уравнению  .

Особенно важен частный случай расширений  : термины алгебраическое число и трансцендентное число (без указания основного поля) употребляют именно для случая данного расширения.

Если каждый элемент расширения   является алгебраическим над  ,   называется алгебраическим расширением. Неалгебраические расширения называются трансцендентными.

Подмножество   поля   называется алгебраически независимым над  , если не существует ненулевого многочлена (от конечного числа переменных) с коэффициентами в  , такого, что при подстановке в него конечного подмножества чисел из   получится ноль. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности данного расширения. Для любого расширения можно найти алгебраически независимое множество  , такое что   является алгебраическим расширением. Множество  , удовлетворяющее этому условию, называется базисом трансцендентности данного расширения. Все базисы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени транцендентности расширения.

Простое расширение является конечным, если порождается алгебраическим элементом. В противном случае единственные элементы  , являющиеся алгебраическими над   — это сами элементы  .

Расширения ГалуаПравить

Алгебраическое расширение   называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен   над  , имеющий хотя бы один корень в  , разлагается в   на линейные множители.

Алгебраическое расширение   называется сепарабельным, если каждый элемент   является сепарабельным, то есть его минимальный многочлен не имеет кратных корней. В частности, теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение имеет примитивный элемент (то есть является простым расширением). Расширение Галуа — это расширение, являющееся одновременно сепарабельным и нормальным.

Для любого расширения   можно рассмотреть группу автоморфизмов поля  , действующих тождественно на поле  . Когда расширение является расширением Галуа, эта группа называется группой Галуа данного расширения.

Для расширения   часто бывает полезно описать промежуточные поля (то есть подполя  , содержащие  ). Основная теорема теории Галуа утверждает, что существует биекция между множеством промежуточных полей и множеством подгрупп группы Галуа, обращающая порядок по включению.

ЛитератураПравить