Рациональная функция

Пример рациональной функции от одной переменной:
Пример рациональной функции от двух переменных

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.

ОпределениеПравить

Рациональной функцией называется функция вида

 

где   ,    — многочлены от любого числа переменных.

Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель   обращается в ноль.

Частным случаем являются рациональные функции одной переменной:

 , где   и   — многочлены.

Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.

СвойстваПравить

Правильные дробиПравить

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если это не так.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

 

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения   (  — вещественный корень  ) либо   (где   не имеет действительных корней), причём степени   не больше кратности соответствующих корней в многочлене  . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским[1].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.