Рациональная функция

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение[⇨], то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Пример рациональной функции от одной переменной:
Пример рациональной функции от двух переменных

Формальное определениеПравить

Рациональная функция[1][2], или дробно-рациональная функция[1][3], или рациональная дробь[3] — это числовая функция вида

 

где  комплексные ( ) или вещественные ( ) числа,   — рациональное выражение от  . Рациональное выражение — это выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень)[4].

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов   и  :

 

где   Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов   и  :

  и  [4].

Частные случаиПравить

 
где переменная   действительна.
 
  • Преобразование Кэли
 
 
имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. Жуковским[5].

ОбобщенияПравить

  • Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)
 
где  [4].
  • Абстрактные рациональные функции
 
где  линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве,   и   — числовые коэффициенты[4].

Вещественная рациональная функцияПравить

Несократимая рациональная дробьПравить

Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем[3].

Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике[3].

Правильная рациональная дробьПравить

Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби[3].

Простейшая рациональная дробьПравить

Правильная рациональная дробь   простейшая, если её знаменатель   представляет собой степень неприводимого многочлена  :

 

а степень числителя   меньше степени  . Имеют место быть две теоремы[3].

  • Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
  • Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробейПравить

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:

СвойстваПравить

  • Любое выражение, которое можно получить из переменных   с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
  • Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

Правильные дробиПравить

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения   (  — вещественный корень  ) либо   (где   не имеет действительных корней), причём степени   не больше кратности соответствующих корней в многочлене  . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским[11].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить