Рациональная функция

(перенаправлено с «Рациональное выражение»)
Пример рациональной функции от одной переменной:
Пример рациональной функции от двух переменных

Рациональная функция — это функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение[⇨], то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

ОпределенияПравить

Рациональной функцией называется функция вида

 

где   ,    — многочлены от любого числа переменных.

Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель   обращается в ноль.

Рациональное выражениеПравить

Рациональное выражение — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов. Другими словами, это одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), соединённых между собой знаками арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, возведения в целую степень и знаками последовательности этих действий (обычно скобками различного вида). Например:

  •  
  •  

Любое рациональное выражение может быть приведено к виду рациональной функции.

Частные случаиПравить

  • Рациональной функцией от одной переменной называется функция вида  , где   и  полиномиальные функции от одной переменной.
  • Целой рациональной функцией называется функция вида  , где переменная   действительна.
  • Дробно-рациональной функцией называется рациональная функция действительного аргумента, не являющаяся целой рациональной.


СвойстваПравить

  • Любое выражение, которое можно получить из переменных   с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
  • Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.
  • Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей (см. Метод неопределённых коэффициентов), это применяется при аналитическом интегрировании.

Правильные дробиПравить

Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если это не так.

Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби

 

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения   (  — вещественный корень  ) либо   (где   не имеет действительных корней), причём степени   не больше кратности соответствующих корней в многочлене  . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским[1].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.