Аксиомы отделимости

(перенаправлено с «Регулярное пространство»)

Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространства. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.

Введено множество аксиом отделимости, наиболее широко используемых — шесть, обозначаемые соответственно T0, T1, T2, T3, T, T4 (от нем. Trennungsaxiom); кроме того, иногда используются другие аксиомы и их вариации (R0, R1, T, T5, T6 и другие).

T0 (аксиома Колмогорова): для любых двух различных точек и по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.

T1 (аксиома Тихонова): для любых двух различных точек и должна существовать окрестность точки , не содержащая точку , и окрестность точки , не содержащая точку . Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

T2 (аксиома Хаусдорфа, хаусдорфово пространство): для любых двух различных точек и должны найтись непересекающиеся окрестности и .

T3: Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности[1][2]. Эквивалентное условие: для любой точки и её окрестности существует окрестность , такая, что . Иногда в определение аксиомы отделимости T3 включают требования аксиомы отделимости T1.[3][4] Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T1[2][4]. Регулярное пространство — пространство, удовлетворяющие аксиомам T1 и T3.

T: для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция , заданная на этом пространстве, принимающая значения от до на всем пространстве, причем и для всех , принадлежащих . Пространства, удовлетворяющие аксиомам T1 и T называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами; при этом иногда выполнение T1 включают в определение T[5], а в определении вполне регулярного пространства не включает требование аксиомы T1 (тогда в определение тихоновского пространства она включается[2].

T4: для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности[1][2]. Эквивалентное. условие: для любого замкнутого множества и его окрестности существует окрестность , такая, что ( — замыкание ). Нормальное пространство — пространства, удовлетворяющие T1 и T4[2][6]. Иногда в определение T4 включают требование выполнения T1[7][8], а в определении нормального пространства не включается требование T1[8].

Некоторые соотношения аксиом отделимости и связанных с ними классов друг с другом:

  • , и не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома );
  • из следует ;
  • регулярные пространства являются хаусдорфовыми;
  • вполне регулярные пространства являются регулярными;
  • нормальные пространства являются также и вполне регулярными;
  • компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.105
  2. 1 2 3 4 5 математическая энциклопедия
  3. Энгелькинг, с.71
  4. 1 2 Келли, с.154
  5. Энгелькинг, с.73
  6. Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.106
  7. Энгелькинг, с.74
  8. 1 2 Келли, с.153

ЛитератураПравить

  • О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
  • Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
  • Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
  • И. М. Виноградов. Отделимости аксиома // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. — статья из математической энциклопедии, автор — В. И. Зайцев