Открыть главное меню

Ретракт топологического пространства  — подпространство этого пространства, для которого существует ретракция на ; то есть непрерывное отображение , тождественное на (то есть такое, что при всех ).

Ретракт топологического пространства наследует многие важные свойства самого пространства, в то же время он может быть устроен гораздо проще его самого, более обозрим, более удобен для конкретного исследования.

ПримерыПравить

  • Одноточечное множество является ретрактом отрезка, прямой, плоскости и т. д.
  • Всякое непустое замкнутое множество канторова совершенного множества является его ретрактом.
  •  -мерная сфера не является ретрактом  -мерного шара евклидова пространства, так как шар имеет нулевые группы гомологий, а сфера — ненулевую группу  . Это противоречит существованию ретракта, так как ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.

Связанные определенияПравить

  • Подпространство   пространства   называется окрестностным ретрактом, если в   существует открытое подпространство, содержащее  , ретрактом которого является  .
  • Метризуемое пространство   называется абсолютным ретрактом (абсолютным окрестностным ретрактом), если оно является ретрактом (соответственно окрестностным ретрактом) всякого метризуемого пространства, содержащего   в качестве замкнутого подпространства.
  • Если ретракция пространства   на его подпространство   гомотопна тождественному отображению пространства   на себя, то   называется деформационным ретрактом пространства  .
  • Линейный оператор   в топологическом векторном пространстве  , являющийся ретракцией, называется непрерывным проектором. Векторное подпространство   топологического векторного пространства   называется дополняемым, если существует непрерывный проектор  .

СвойстваПравить

  • Подпространство   пространства   является его ретрактом в том и только в том случае, если всякое непрерывное отображение пространства   в произвольное топологического пространство   можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства   в  .
  • Если пространство   — хаусдорфово, то всякий ретракт пространства   замкнут в  .
  • Всякое свойство, сохраняющееся при переходе к непрерывному образу, равно как и любое свойство, наследуемое замкнутыми подпространствами, устойчиво относительно перехода к ретракту. В частности, при переходе к ретракту сохраняются
  • Если пространство   имеет свойство неподвижной точки, т.е . для каждого непрерывного отображения   существует точка   такая, что  , то и каждый ретракт пространства   обладает свойством неподвижной точки.
  • Абсолютный окрестностный ретракт является локально стягиваемым пространством.
  • Ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.

ЛитератураПравить

  • Борсук К., Теория ретрактов, пер. с англ., М., 1971.