Открыть главное меню

Рефлексивное пространство

Рефлексивное пространство — банахово(бананово) пространство (в более общем случае локально выпуклое пространство) , совпадающее при каноническом вложении со своим вторым сопряженным .

Рефлексивные банаховы пространстваПравить

Пусть   — банахово пространство над полем   комплексных чисел[1], а   — пространство, сопряженное к  , то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов   с нормой

 .

Второе сопряженное пространство   определяется как пространство, сопряженное к  . При фиксированном   отображение   является линейным непрерывным функционалом на  , то есть элементом пространства  . Поэтому определено отображение  ,  ,  ,  . Если оно является изоморфизмом банаховых пространств, то банахово пространство   называется рефлексивным. Достаточным условием для этого является сюръективность отображения  , то есть условие  .

Примеры:

Свойства:

  • Пространство   рефлексивно тогда и только тогда, когда   рефлексивно.
  • Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар этого пространства слабо компактен.
  • Рефлексивное пространство слабо полно. Обратное неверно, существуют слабо полные нерефлексивные пространства, например  .
  • Замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.

Рефлексивные локально выпуклые пространстваПравить

Понятие рефлексивности естественным образом распространяется на локально выпуклые пространства.

Для всякого локально выпуклого пространства   обозначим через   пространство линейных непрерывных функционалов на  , наделенное сильной топологией  , то есть топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в  . Пространство   называется сопряженным пространством к пространству  . Как и в банаховом случае второе сопряженное пространство   определяется как пространство, сопряженное к  . Формула  ,  ,   определяет естественное отображение пространства   во второе сопряженное пространство  .

Если отображение   является изоморфизмом локально выпуклых пространств, то пространство   называется рефлексивным локально выпуклым пространством.

Примеры:

  • В частном случае, когда пространство   банахово, его рефлексивность как банахова пространства эквивалентна его рефлексивности как локально выпуклого пространства.
  • Пространство   гладких функций на гладком многообразии   рефлексивно.
  • Пространство   голоморфных функций на комплексном аналитическом многообразии   рефлексивно.

Стереотипные пространства и другие обобщения рефлексивностиПравить

Среди всех локально выпуклых пространств (даже среди всех банаховых пространств) используемых в функциональном анализе класс рефлексивных пространств слишком узок, чтобы образовывать самодостаточную категорию в каком-нибудь смысле. Отражаемая этим понятием идея двойственности, однако, рождает интуитивные ожидания, что подходящие изменения в определении рефлексивности могут привести к другому понятию, более удобному для внутренних целей математики. Одной из таких целей может считаться идея приближения анализа к другим частям математики, таким как алгебра и геометрия путём переформулировки результатов анализа на чисто алгебраическом языке теории категорий.

Эта программа разрабатывается в теории стереотипных пространств, определяемых как локально выпуклые пространства удовлетворяющие похожему условию рефлексивности, однако с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (вместо ограниченных множеств) в определении пространства  . По контрасту с классическими рефлексивными пространствами класс Ste стереотипных пространств весьма широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше и поэтому все банаховы пространства), он образует замкнутую моноидальную категорию, и он допускает стандартные операции (определенные внутри Ste) построения новых пространств, такие как взятие замкнутого подпространства, отделимого факторпространства, проективные и инъективные пределы, пространства операторов, тензорные произведения, и т. д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности некоммутативных групп.

Аналогично можно заменять класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в   в определении сопряженного пространства   другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств в  — пространства определенные соответствующим условием рефлексивности называются рефлективными[2][3], и они образуют даже более широкий класс чем Ste, однако неизвестно (2012), образует ли этот класс категорию со свойствами, близкими к свойствам Ste.

ЛитератураПравить

  • Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
  • Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
  • Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
  • Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
  • Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
  • Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. — М.: Мир, 1967.

ПримечанияПравить

  1. …или над полем   вещественных чисел с аналогичным определением.
  2. Garibay Bonales, F.; Trigos-Arrieta, F.J., Vera Mendoza, R. A characterization of Pontryagin-van Kampen duality for locally convex spaces (англ.) // Topology and its Applications (англ.) : journal. — 2002. — Vol. 121. — P. 75—89.
  3. Akbarov, S. S.; Shavgulidze, E. T. On two classes of spaces reflexive in the sense of Pontryagin (англ.) // Mat. Sbornik : journal. — 2003. — Vol. 194, no. 10. — P. 3—26.