Риманово многообразие

Риманово многообразие, или риманово пространство, $(M,g)$ — это (вещественное) гладкое многообразие $M$, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением $g$ — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.

Это позволяет определить различные геометрические понятия на римановых многообразиях, такие как углы, длины кривых, площади (или объёмы), кривизну, градиент функции и дивергенции векторных полей.

Риманова метрика $g$ — это положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор; точнее — это гладкое ковариантное симметричное положительно определенное тензорное поле валентности $(0,2)$.

Не стоит путать римановы многообразия с римановыми поверхностями — многообразиями, которые локально выглядят как склейки комплексных плоскостей.

Термин назван в честь немецкого математика Бернхарда Римана.

Обзор

Касательное расслоение $TM$ гладкого многообразия $M$ ставит в соответствие каждой точке $M$ векторное пространство, называемое касательным, и на этом касательном пространстве можно ввести скалярное произведение. Если такой набор введённых скалярных произведений на касательном расслоении многообразия изменяется гладко от точки к точке, то с помощью таких произведений можно ввести метричность на всём многообразии. К примеру, гладкая кривая $\alpha (t)$: $[0,1]\rightarrow M$ имеет касательный вектор $\alpha '(t_{0})$ в касательном пространстве $TM(t_{0})$ в любой точке $t_{0}\in (0,1)$, и каждый такой вектор имеет длину $\|\alpha '(t_{0})\|$, где $\|\cdot \|$ обозначает норму, индуцированную скалярным произведением на $TM(t_{0})$. Интеграл по этим длинам даёт длину всей кривой $\alpha$:

$L(\alpha )=\int _{0}^{1}{\|\alpha '(t)\|\,\mathrm {d} t}.$

Гладкость $\alpha (t)$ для $t$ в $[0,1]$ гарантирует, что интеграл $L(\alpha )$ существует и длина кривой определена.

Во многих случаях для того чтобы перейти от линейно-алгебраической концепции к дифференциально геометрической, гладкость очень важна.

Каждое гладкое подмногообразие $R^{n}$ имеет индуцированную метрику $g$: скалярное произведение на каждом касательном пространстве — это просто скалярное произведение на $R^{n}$. Имеет место и обратный факт: теорема Нэша о регулярных вложениях утверждает, что любое достаточно гладкое риманово многообразие может быть реализовано как подмногообразие с индуцированной метрикой в $R^{n}$ достаточной большой размерности $n$.

Измерение длин и углов при помощи метрики

На римановом многообразии длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция $x(t)$ параметра $t$, меняющегося от $a$ до $b$), равна:

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt=\int \limits _{x(a)}^{x(b)}{\sqrt {g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}}.$

Угол $\theta \$ между двумя векторами, $U=u^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\$ и $V=v^{j}{\partial \over \partial x^{j}}\$ (в искривлённом пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), определяется выражением:

$\cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}.$

Обобщения

• Псевдориманово многообразие
• Субриманово многообразие
• Финслерово многообразие

Литература

• Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
• А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
• В. А. Шарафутдинов. Лекции. Глава 5: Римановы многообразия