Род многообразия

Род многообразия — гомоморфизм кольца кобордизмов замкнутых многообразий в некоторое кольцо, обычно кольцо рациональных чисел.

ОпределениеПравить

Род φ выбирает элемент φ(X) из некоторого кольца K для каждого многообразия X так, что

  1. φ(XY) = φ(X) + φ(Y) (где ∪ — несвязное объединение)
  2. φ(X×Y) = φ(X)φ(Y)
  3. φ(X) = 0, если X кобордантно нулю.

При этом рассматриваемые многообразия могут быть снабжены дополнительной структурой, например, ориентацией или спинорной структурой.

Кольцо K обычно является полем рациональных чисел, но также рассматривают   и кольцо модулярных форм.

Условия на φ можно переформулировать, сказав, что φ является гомоморфизмом кольца кобордизмов многообразий (с учётом структуры) в другое кольцо.

Род формальных степенных рядовПравить

Последовательность многочленов K1, K2,... от переменных р1,р2,... называется мультипликативной (англ.), если из

 

следует

 

Если Q(z) представляет собой формальный степенной ряд от z со свободным членом 1, мы можем определить мультипликативные последовательности

 

как

 

где pk — это k-я элементарная симметрическая функция с неизвестными  .

Род φ ориентированных многообразий, соответствующий степенному ряду Q, определяется как

 

где pk есть kкласс Понтрягина многообразия X. При этом степенной ряд Q называется характеристическим рядом рода φ. 

ПримерыПравить

L-род и сигнатураПравить

L-род определяется характеристическим рядом

 

где  числа Бернулли. Первые несколько значений:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  [1][2]


Если M — замкнутое гладкое ориентированное многообразие размерности 4n с классами Понтрягина  , то значение L-рода на фундаментальном классе   равно сигнатуре   , то есть

 .

Тот факт, что L2 всегда целочисленный для гладких многообразий, использовал Джон Милнор в доказательстве существования кусочно-линейного 8-мерного многообразия без гладкой структуры. 

Â-родПравить

Â-род определяется характеристическим рядом

 

 Первые несколько значений

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

СвойстваПравить

  • Â-род спинорного многообразия есть целое число,
    • Â-род спинорного многообразия размерности   — чётное целое число.  
  • Â-род спинорного многообразия равен индексу оператора Дирака.
  • Если компактное спинорное  многообразие допускает метрику положительной скалярной кривизны, то его Â-род равен нулю.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. McTague, Carl (2014) "Computing Hirzebruch L-Polynomials".
  2. последовательность A237111 в OEIS.

СсылкиПравить