Ромбоусечённый икосододекаэдр

Ромбоусечённый икосододека́эдр[1] или усечённый икосододека́эдр[2][3]полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 30 квадратов, 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников.

Ромбоусечённый икосододекаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип архимедово тело
Свойства выпуклый, изогональный
Комбинаторика
Элементы
62 грани
180 рёбер
120 вершин
Χ = 2
Грани 30 квадратов
20 шестиугольников
12 десятиугольников
Конфигурация вершины 4.6.10
Двойственный многогранник гекзакисикосаэдр
Классификация
Обозначения bD, taD
Группа симметрии Ih (икосаэдрическая)
Количественные данные
Телесный угол при вершине
Commons-logo.svg Медиафайлы на Викискладе

В каждой из его 120 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань, одна шестиугольная и одна десятиугольная. Телесный угол при вершине равен в точности

Имеет 180 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между квадратной и шестиугольной гранями) двугранные углы равны при 60 рёбрах (между квадратной и десятиугольной гранями) при 60 рёбрах (между шестиугольной и десятиугольной гранями)

Родственный многогранник, не являющийся полуправильным.

Название «усечённый икосододекаэдр», которое первоначально дал этому многограннику Кеплер, способно ввести в заблуждение. Дело в том, что в результате операции усечения, «срезав» с икосододекаэдра 30 четырёхугольных пирамид, можно получить лишь несколько иной многогранник, четырёхугольные грани которого — золотые прямоугольники, а не квадраты. Полученный многогранник полуправильным не является; впрочем, он изоморфен настоящему ромбоусечённому икосододекаэдру и может быть превращён в таковой при помощи небольшой деформации.

В координатахПравить

Ромбоусечённый икосододекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

где   — отношение золотого сечения.

Начало координат   будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристикиПравить

Если ромбоусечённый икосододекаэдр имеет ребро длины  , его площадь поверхности и объём выражаются как

 
 

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

 

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

 

Вписать в ромбоусечённый икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоусечённого икосододекаэдра с ребром   (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

 

Расстояния от центра многогранника до центров шестиугольных и квадратных граней превосходят   и равны соответственно

 
 

Примечательные свойстваПравить

Среди всех платоновых тел, архимедовых тел и тел Джонсона с заданной длиной ребра ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольший объём, наибольшую площадь поверхности и наибольший диаметр.

Среди всех платоновых тел, архимедовых тел и тел Джонсона ромбоусечённый икосододекаэдр имеет наибольшее число вершин и наибольшее число рёбер (но не наибольшее число граней — здесь первое место занимает курносый додекаэдр).

ПримечанияПравить

СсылкиПравить

ЛитератураПравить